Formalwissenschaften
Was ist eine Menge?
Eine Menge fasst wohldefinierte Objekte zusammen; Zugehörigkeit, Inklusion und Operationen beschreiben ihre Struktur.
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Pulse / Verstehen
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Grundlagen zum Lernen, Verknüpfen von Ideen und Vertiefen von Wissen.
Der Neugier folgen
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Informatik
Algorithmen: eine Suche nach dem Maximum spezifizieren, ausführen und begründen
Vom Vertrag zum Beweis: Verfolgen Sie eine Suche nach dem Maximum, testen Sie ihre Grenzen und unterscheiden Sie Methode, Programm, Korrektheit und Terminierung.
25 Min. LesezeitEntdecken
Sozialwissenschaften
Das Gesetz des abnehmenden Grenzertrags
Bei unveränderter Technologie führt die Erhöhung eines Faktors bei konstanten übrigen Faktoren häufig letztlich zu einem Rückgang seines Grenzprodukts; ist er der einzige variable Faktor, wird er zu einem konstanten Preis entlohnt und bleibt sein Grenzprodukt positiv, so erhöht dieser Rückgang die Grenzkosten.
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Informatik
Algorithmen: eine Suche nach dem Maximum spezifizieren, ausführen und begründen
Vom Vertrag zum Beweis: Verfolgen Sie eine Suche nach dem Maximum, testen Sie ihre Grenzen und unterscheiden Sie Methode, Programm, Korrektheit und Terminierung.
25 Min. LesezeitLesen
Formalwissenschaften
Die Ableitung verstehen: Grenzwert, Tangente und momentane Änderung
Die Ableitung beschreibt momentane Änderung: Sie entsteht als Grenzwert von Änderungsraten und ist die Steigung der Tangente.
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Formalwissenschaften
Änderungsrate: Veränderung über ein Intervall messen
Die Änderungsrate misst eine mittlere Veränderung zwischen zwei festgelegten Eingaben. Intervallwahl, Einheiten und Darstellung bestimmen ihre Bedeutung.
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Formalwissenschaften
Funktionen: Definitionsbereich, Funktionswerte, Urbilder und Darstellungen
Eine Funktion ist mehr als eine Formel: Jeder zulässigen Eingabe ist genau eine Ausgabe zugeordnet. Unterscheide Definitionsbereich, Bildmenge, Urbilder und Darstellungen.
12 Min. LesezeitLesen
Formalwissenschaften
Was ist eine Menge?
Eine Menge fasst wohldefinierte Objekte zusammen; Zugehörigkeit, Inklusion und Operationen beschreiben ihre Struktur.
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Formalwissenschaften
Graphen, Grade und Eulerzüge
In einem Multigraphen, dessen Knoten von Grad ungleich null alle verbunden sind, entscheidet die Parität der Grade, ob jede Kante genau einmal durchlaufen werden kann.
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Sozialwissenschaften
Das Gesetz des abnehmenden Grenzertrags
Bei unveränderter Technologie führt die Erhöhung eines Faktors bei konstanten übrigen Faktoren häufig letztlich zu einem Rückgang seines Grenzprodukts; ist er der einzige variable Faktor, wird er zu einem konstanten Preis entlohnt und bleibt sein Grenzprodukt positiv, so erhöht dieser Rückgang die Grenzkosten.
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Sozialwissenschaften
Der komparative Vorteil
Im Modell mit zwei Gütern und konstanten Kosten folgt die Reallokation den Opportunitätskosten; wenn die Präferenz bei den verglichenen Güterbündeln hinsichtlich Stühlen streng monoton steigend ist, ermöglicht ein Preis strikt zwischen den beiden Kosten einen beiderseitigen Gewinn.
16 Min. LesezeitLesen
Finanzen
Der Zeitwert des Geldes
Ein Betrag besagt ohne sein Datum nichts. Beträge zu vergleichen, die an verschiedenen Daten stehen, verlangt, sie auf ein gemeinsames Datum zurückzuführen: Ein Zahlungsstrom wiegt umso weniger, je ferner seine Fälligkeit liegt, sofern die Referenzrendite positiv ist.
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Finanzen
Der Zinseszins
Wenn die Zinsen dem Kapital zugeschlagen werden, tragen sie ihrerseits Zinsen: Die Summe wächst nicht mehr je Periode um einen festen Betrag, sie wird mit einem festen Faktor multipliziert.
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Sozialwissenschaften
Angebot und Nachfrage
Angebot und Nachfrage sind keine Mengen, sondern zwei Beziehungen zwischen Preis und Menge; ihr Schnittpunkt bestimmt den Gleichgewichtspreis.
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Sozialwissenschaften
Die Opportunitätskosten
Die Kosten einer Wahl beschränken sich nicht auf die ausgegebene Summe: Sie sind der Wert der besten Option, auf die sie verzichten lässt.
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Formalwissenschaften
Die reelle Analysis
Die gesamte Analysis ruht auf einer einzigen Eigenschaft: der Vollständigkeit von ℝ. Nimmt man sie weg, fallen ihre Sätze einer nach dem anderen.
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Naturwissenschaften
Die Energieerhaltung
Die Energie eines abgeschlossenen Systems ändert sich nicht; nur ihre Form ändert sich, und diese Invarianz folgt aus einer Symmetrie.
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Formalwissenschaften
Die vollständige Induktion
Die Induktion beweist unendlich viele Aussagen mit zwei Prüfungen: einem Anfangspunkt und einem Schritt, der sich fortpflanzt.
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Formalwissenschaften
Der Schluss
Schließen heißt, von Prämissen nach einer Regel zu einer Konklusion zu gelangen; die Regel wird an ihrer Form gemessen, nicht am Inhalt.
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Formalwissenschaften
Das Prädikat
Ein Prädikat ist eine Aussage mit einer Lücke: wahr oder falsch wird sie erst, wenn die Lücke gefüllt oder quantifiziert ist.
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Formalwissenschaften
Die Wahrscheinlichkeit
Eine Wahrscheinlichkeit ist ein Maß zwischen 0 und 1 auf Ereignissen; drei Axiome genügen, um alles Übrige herzuleiten.
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Formalwissenschaften
Der Grenzwert
Der Grenzwert sagt, wogegen eine Funktion an einer Stelle strebt, ohne dort definiert sein zu müssen.
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Formalwissenschaften
Die reelle Zahl
Eine reelle Zahl ist ein Punkt der stetigen Geraden; was sie von der rationalen unterscheidet, ist dass sie keine Lücke lässt.
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Formalwissenschaften
Was ist eine Ziffer?
Eine Ziffer ist ein Symbol zum Schreiben von Zahlen; eine Basis hat genau so viele Ziffern wie ihr Wert.
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Formalwissenschaften
Was ist eine gerade Zahl?
Eine gerade Zahl ist eine ganze Zahl, die ohne Rest durch 2 teilbar ist.
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