Der Zeitwert des Geldes

Definition FAKT

1 000 € heute oder 1 000 € in einem Jahr erhalten: Beide Beträge schreiben sich gleich und sind dennoch nicht dasselbe. Der heutige lässt sich anlegen und wird in einem Jahr mehr wert sein, sofern die Anlage etwas einbringt. Der umgekehrte Vorgang ist möglich — einen erst später erwarteten Betrag heute zu erhalten heißt, sich zu verschulden — und sein Preis hat denselben Ursprung: die Rendite, auf die der Kreditgeber verzichtet und unter die der geforderte Satz nicht sinken wird.

Der Zeitwert des Geldes ist der Grundsatz, dass ein Betrag nur zusammen mit einem Datum wirtschaftliche Bedeutung hat und dass zwei Beträge mit verschiedenen Daten sich erst vergleichen lassen, wenn sie auf ein gemeinsames Datum zurückgeführt sind. Solange die alternative Verwendung eine positive Rendite abwirft, ist ein früher verfügbarer Betrag mehr wert als ein später verfügbarer.

Zwei Beträge mit verschiedenen Daten unmittelbar zu addieren oder zu subtrahieren ist daher ein Fehler derselben Art wie das Addieren von Längen, die in verschiedenen Einheiten ausgedrückt sind.

Der Ursprung dieses Unterschieds liegt nicht in der Zeit selbst: Er liegt im Bestehen einer alternativen Verwendung. Brächte keine Anlage irgendetwas ein, so wären beide Beträge gleich viel wert. Weil ein verfügbares Kapital verwendet werden kann — und weil diese Verwendung etwas einbringt —, kostet das Warten. Der Zeitwert des Geldes ist damit das auf den Kalender angewandte Prinzip der Opportunitätskosten: Was das Warten kostet, ist die Rendite der besten Verwendung, auf die es verzichten lässt.

Abzinsen, der Umkehrvorgang der Aufzinsung FAKT

Die Aufzinsung trägt einen Betrag in die Zukunft, indem sie ihn mit $(1+i)^n$(1+i)n multipliziert. Die hier gestellte Frage ist die spiegelbildliche: Welcher heutige Betrag ist einem in $n$n Perioden verfügbaren Betrag $V_n$Vn​ gleichwertig? Derjenige, der aufgezinst genau $V_n$Vn​ ergäbe. Es genügt also zu dividieren statt zu multiplizieren.

$V_0 = \frac{V_n}{(1+i)^n}$V0​=(1+i)nVn​​

Dieser Vorgang heißt Abzinsung, $V_0$V0​ heißt der Barwert des Zahlungsstroms und die Zahl $1/(1+i)^n$1/(1+i)n der Abzinsungsfaktor — derjenige, mit dem man den künftigen Zahlungsstrom multipliziert. Solange $i$i positiv ist, ist dieser Faktor kleiner als 1 und nimmt mit der Fälligkeit geometrisch ab.

Aufzinsung und Abzinsung sind also ein und dieselbe Beziehung, in zwei Richtungen gelesen. Jede Eigenschaft der einen hat ihr Gegenstück in der anderen: Solange der Satz positiv bleibt, fällt der Abzinsungsfaktor umso schneller, je höher der Satz ist, und ein sehr ferner Zahlungsstrom hat einen beliebig kleinen Barwert.

Der Abzinsungssatz ist ein Opportunitätskostensatz FAKT

Der zum Abzinsen verwendete Satz $i$i ist keine Eigenschaft des abgezinsten Betrags. Er ist die Rendite der besten vergleichbaren alternativen Verwendung, der das Kapital zufiele, wäre es nicht in dem betrachteten Vorhaben gebunden.

Daraus folgen drei oft missverstandene Konsequenzen.

• Der Satz hängt davon ab, wer rechnet. Zwei Personen mit verschiedenen Optionen zinsen denselben Zahlungsstrom berechtigterweise mit verschiedenen Sätzen ab und gelangen zu verschiedenen Barwerten. Das ist kein Widerspruch: Sie verzichten nicht auf dasselbe.
• Es gibt keinen am Zahlungsstrom ablesbaren „wahren“ Satz. Der Satz ist eine begründete Wahl, deren Rechtfertigung die als Bezug herangezogene Alternative ist. Ändert man die Alternative, so ändert sich das Ergebnis.
• Der Barwert reagiert sehr empfindlich auf diese Wahl, und zwar umso mehr, je länger der Horizont ist, da der Faktor $1+i$1+i dort in die $n$n-te Potenz erhoben wird. Ein redlicher Vergleich prüft daher, wie sich die Schlussfolgerung verschiebt, wenn der Satz variiert.

Eine Folge von Zahlungsströmen vergleichen: der Kapitalwert FAKT

Die meisten Entscheidungen betreffen keinen einzelnen Betrag, sondern eine Folge zeitlich gestaffelter Beträge: eine anfängliche Auszahlung, dann Einzahlungen. Jede wird auf das Bezugsdatum zurückgeführt, und die nunmehr gleichartigen Barwerte lassen sich addieren. Zählt man die Auszahlungen negativ, so ist die Summe dieser Barwerte der Kapitalwert (NPV).

$\mathrm{NPV} = \sum_{t=0}^{n} \frac{F_t}{(1+i)^t}$NPV=t=0∑n​(1+i)tFt​​

wobei $F_t$Ft​ der Nettozahlungsstrom der Periode $t$t ist, negativ gezählt, wenn es sich um eine Auszahlung handelt. Der Zahlungsstrom zum Datum 0 wird nicht abgezinst, da sein Faktor 1 beträgt.

Gegeben sei eine Auszahlung von 1 000 € heute gegen drei Einzahlungen von 400 € in den Perioden 1, 2 und 3. Bei einem Satz von 5 %:

$\mathrm{NPV} = -1000 + \frac{400}{1{,}05} + \frac{400}{1{,}05^2} + \frac{400}{1{,}05^3} = -1000 + 380{,}95 + 362{,}81 + 345{,}54 = 89{,}30$NPV=−1000+1,05400​+1,052400​+1,053400​=−1000+380,95+362,81+345,54=89,30

Der Kapitalwert ist positiv: Das Vorhaben bringt, in heutigen Euro gerechnet, 89,30 € mehr ein als die Referenzanlage zu 5 %.

Dieselbe Rechnung zu 15 % ergibt $-1000 + 347{,}826 + 302{,}457 + 263{,}006 \approx -86{,}71$−1000+347,826+302,457+263,006≈−86,71. Der Kapitalwert ist negativ, und dieselben Zahlungsströme werden nachteilig. Nichts hat sich geändert außer der Alternative, mit der man sie vergleicht: Der Kapitalwert misst keine innere Eigenschaft, sondern einen Abstand zu einem Bezugspunkt.

Es ist eben dieser Abstand und nicht ein Bruttosaldo, der entscheidet. Man beachte nämlich, dass die nicht abgezinste Summe der Einzahlungen, 1 200 €, in beiden Fällen die Auszahlung von 1 000 € übersteigt: Dieser Vergleich entscheidet nichts, denn er addiert Beträge mit verschiedenen Daten.

Aus dieser Deutung als Abstand ergibt sich die Leseregel: Bei $\mathrm{NPV} > 0$NPV>0 ist das Vorhaben der Referenzalternative vorzuziehen; bei $\mathrm{NPV} = 0$NPV=0 sind beide gleichwertig; bei $\mathrm{NPV} < 0$NPV<0 ist die Alternative vorzuziehen.

Der interne Zinsfuß FAKT

Da der Kapitalwert vom Satz abhängt, lässt sich die Frage umkehren und nach dem Satz suchen, der ihn zu null macht. Dieser Satz ist der interne Zinsfuß (IRR): der Wert von $i$i, bei dem das Vorhaben und seine Referenzalternative einander genau gleichwertig sind.

Im vorangehenden Beispiel beträgt der interne Zinsfuß etwa 9,70 %, ein numerisch bestimmter Wert: Die Gleichung ist ein Polynom vom Grad $n$n, ohne allgemeine Auflösungsformel durch Wurzeln jenseits des Grades 4 und schon weit davor von Hand nicht mehr zu bewältigen. Steht dagegen ein einziger künftiger Zahlungsstrom einem Anfangsbetrag gegenüber, so berechnet sich der interne Zinsfuß unmittelbar: $i = (V_n/V_0)^{1/n} - 1$i=(Vn​/V0​)1/n−1. Seine Deutung ist direkt: Das Vorhaben ist jeder Alternative vorzuziehen, die weniger als 9,70 % einbringt, und gegenüber jeder Alternative nachteilig, die mehr einbringt. Das ist der Umschlagpunkt, der sich zwischen den beiden Rechnungen zu 5 % und zu 15 % zeigt.

Zwei Grenzen sind zu kennen. Den Kapitalwert zu null zu machen läuft darauf hinaus, $\sum_t F_t\,x^t = 0$∑t​Ft​xt=0 zu lösen, wobei $x = 1/(1+i)$x=1/(1+i); nur die Wurzeln $x > 0$x>0 — also $i > -1$i>−1 — haben einen Sinn, und der interne Zinsfuß ergibt sich daraus durch $i = 1/x - 1$i=1/x−1. Solange die Zahlungsströme ihr Vorzeichen nur einmal wechseln — eine Auszahlung, dann Einzahlungen —, existiert eine solche Wurzel und sie ist eindeutig; der interne Zinsfuß kann dabei durchaus negativ sein, wenn die Einzahlungen insgesamt weniger ausmachen als die Auszahlung. Wechseln sie es mehrfach, so kann die Gleichung mehrere zulässige Wurzeln besitzen oder gar keine, und der interne Zinsfuß ist dann nicht mehr eindeutig bestimmt. Da er im Übrigen ein Satz ist, sagt er nichts über die Größe des Vorhabens: Ein hoher interner Zinsfuß auf eine kleine Summe kann weniger Wert schaffen als ein bescheidener auf eine große. Um konkurrierende Vorhaben zu ordnen, bleibt der Kapitalwert, der sich in einem Betrag ausdrückt, die maßgebliche Größe.

Der Fall unsicherer Zahlungsströme HYPOTHESE

Die vorstehenden Formeln setzen Zahlungsströme voraus, die nach Betrag und Datum bekannt sind. Sobald der künftige Betrag unsicher ist, sind zwei verschiedene Anpassungen möglich: die Zahlungsströme mit ihrer Wahrscheinlichkeit zu gewichten und den Abzinsungssatz um eine Risikoprämie über die Rendite einer als sicher geltenden Verwendung hinaus anzuheben. Beide Anpassungen sind gängige Praxis — umstritten bleibt ihre Rechtfertigung, nicht ihr Bestehen.

Sie sind nicht von derselben Art. Die erste ist nichts als die Berechnung eines Erwartungswerts: Sie ist wohldefiniert, sobald es die Wahrscheinlichkeiten sind. Doch allein nach dem Erwartungswert zu entscheiden setzt bereits Risikoneutralität voraus — eine Annahme, die die zweite Anpassung gerade verwirft, ohne dass sie deshalb aus dem Grundsatz folgte: Der Grundsatz sagt, dass die Zahlungsströme auf ein gemeinsames Datum zurückzuführen sind, er sagt nicht, um wie viel der Satz zu erhöhen ist. Die angemessene Höhe der Prämie und selbst die Berechtigung, einem einzigen Satz zwei so verschiedene Dinge wie das Verstreichen der Zeit und die Risikoexposition aufzubürden, bleiben umstritten. Man wird die Abzinsung eines unsicheren Zahlungsstroms daher für eine Praxis der Konvention halten, deren Ergebnis nicht denselben Status hat wie die Rechnung mit sicheren Zahlungsströmen.

Was der Grundsatz voraussetzt FAKT

• Eine gemeinsame Einheit. Die Zahlungsströme müssen in derselben Währung ausgedrückt und im Hinblick auf die Inflation einheitlich behandelt werden: Zahlungsströme in laufenden Einheiten werden mit einem Nominalzins abgezinst, dem nicht um die Inflation bereinigten, und in konstanter Kaufkraft ausgedrückte Zahlungsströme mit einem Realzins, den man durch $(1+i)/(1+\pi) - 1$(1+i)/(1+π)−1 erhält — wobei $i$i hier den Nominalzins und $\pi$π die Inflationsrate der Periode bezeichnet — und nicht durch einfache Subtraktion. Beides zu vermischen ist der häufigste Fehler der Abzinsungsrechnung. (Das Wort nominal steht hier im Gegensatz zu real; wie beim vorangehenden Prinzip angemerkt, steht es andernorts im Gegensatz zu effektiv und setzt dann eine gegebene Häufigkeit der Aufzinsung voraus.)
• Ein zu jeder Fälligkeit passender Satz. Nichts zwingt den Satz, über den gesamten Horizont derselbe zu sein. Unterscheidet er sich je nach Periode, so wird der Faktor zu einem Produkt aufeinanderfolgender Faktoren, und die Potenzschreibweise ist davon nur der Sonderfall des konstanten Satzes.
• Ausdrückliche Daten. Die Abzinsung verlangt, das Datum jedes Zahlungsstroms zu kennen, nicht nur seinen Betrag: $n$n ist ebenso ein Parameter der Rechnung wie $i$i.
• Eine wirklich verfügbare Alternative. Der Kapitalwert vergleicht mit einer Verwendung, die zu denselben Beträgen und denselben Daten als zugänglich unterstellt wird. Ist die Alternative gedeckelt oder nicht verfügbar, so misst der gewählte Satz nicht mehr das, worauf man tatsächlich verzichtet.

Schließlich eine Bemerkung. Liegt $i$i zwischen $-1$ und 0, so übersteigt der Abzinsungsfaktor 1, und ein künftiger Betrag ist mehr wert als derselbe Betrag heute. Der Grundsatz behauptet also nicht, dass Geld mit der Zeit an Wert verliert — er behauptet, dass ein Betrag ohne Datum unvollständig ist und dass die Richtung des Unterschieds durch das Vorzeichen des Satzes festgelegt wird.

Zusammenfassung

Ein Betrag hat nur zusammen mit seinem Datum einen Sinn: Um zeitlich gestaffelte Beträge zu vergleichen, muss man sie auf ein gemeinsames Datum zurückführen, indem man sie durch $(1+i)^n$(1+i)n teilt, zum Satz der besten alternativen Verwendung.