Die reelle Zahl
Definition
Eine reelle Zahl ist ein Punkt der stetigen Geraden. Ganze Zahlen, Brüche, Wurzeln und π haben dort alle ihren Platz, ohne dass eine Stelle leer bliebe.
Dieses Fehlen von Lücken definiert die Menge R weit mehr als die Liste der Zahlen, die sie enthält.
Was jede Erweiterung bringt
| Menge | Enthält | Ermöglicht |
|---|---|---|
| N | 0, 1, 2, … | Zählen |
| Z | … , −1, 0, 1, … | Subtrahieren ohne herauszufallen |
| Q | Die Brüche p/q | Dividieren ohne herauszufallen |
| R | Die Punkte der Geraden | Grenzübergang ohne herauszufallen |
Jede Stufe behebt einen Mangel der darunterliegenden. Die letzte ist anderer Art: es geht nicht mehr um eine Rechnung, die scheitert, sondern um eine Folge, die nirgends ankommen kann.
Die Lücke der rationalen Zahlen
Kein Bruch hat 2 als Quadrat. Sei p/q vollständig gekürzt mit (p/q)2=2: dann ist p2=2q2, also p gerade, also p=2m, also 4m2=2q2, also ist auch q gerade. Beide sind gerade — im Widerspruch zur Annahme, der Bruch sei gekürzt.
Dennoch existiert 2: es ist die Diagonale des Einheitsquadrats. Die rationalen Zahlen lassen also an einer bestens konstruierbaren Stelle eine Lücke.
Die Vollständigkeit
Die Eigenschaft, die R auszeichnet, passt in einen Satz: jede nichtleere, nach oben beschränkte Menge besitzt ein Supremum.
Nehmen wir die Menge der rationalen Zahlen, deren Quadrat kleiner als 2 ist. Sie ist nichtleer und nach oben beschränkt — doch innerhalb von Q hat sie keine kleinste obere Schranke: es lässt sich stets eine engere finden. In R existiert diese kleinste obere Schranke, und sie ist 2.
Diese Eigenschaft kennzeichnet R: bis auf Isomorphie ist es der einzige vollständige, total geordnete Körper.
Eine größere Unendlichkeit
Die rationalen Zahlen lassen sich durchnummerieren: man kann sie in einer von den ganzen Zahlen indizierten Liste anordnen. Die reellen nicht — keine Liste schöpft sie aus.
Die Unendlichkeit der reellen Zahlen ist also strikt größer als die der rationalen, obwohl letztere überall dicht unter ersteren liegen: zwischen zwei verschiedenen reellen Zahlen, so nah sie sich auch sind, schiebt sich stets eine rationale.
Zusammenfassung
Die reelle Zahl ist die vervollständigte rationale: der Grenzübergang kommt immer irgendwo an.