Eine reelle Zahl ist ein Punkt der stetigen Geraden; was sie von der rationalen unterscheidet, ist dass sie keine Lücke lässt.

Die reelle Zahl

Definition FAKT

Eine reelle Zahl ist ein Punkt der stetigen Geraden. Ganze Zahlen, Brüche, Wurzeln und $\pi$ haben dort alle ihren Platz, ohne dass eine Stelle leer bliebe.

Dieses Fehlen von Lücken definiert die Menge $\mathbb{R}$ weit mehr als die Liste der Zahlen, die sie enthält.

Was jede Erweiterung bringt FAKT

Menge	Enthält	Ermöglicht
$\mathbb{N}$	0, 1, 2, …	Zählen
$\mathbb{Z}$	… , −1, 0, 1, …	Subtrahieren ohne herauszufallen
$\mathbb{Q}$	Die Brüche $p/q$	Dividieren ohne herauszufallen
$\mathbb{R}$	Die Punkte der Geraden	Grenzübergang ohne herauszufallen

Jede Stufe behebt einen Mangel der darunterliegenden. Die letzte ist anderer Art: es geht nicht mehr um eine Rechnung, die scheitert, sondern um eine Folge, die nirgends ankommen kann.

Die Lücke der rationalen Zahlen FAKT

Kein Bruch hat 2 als Quadrat. Sei $p/q$ vollständig gekürzt mit $(p/q)^2 = 2$ : dann ist $p^2 = 2q^2$ , also $p$ gerade, also $p = 2m$ , also $4m^2 = 2q^2$ , also ist auch $q$ gerade. Beide sind gerade — im Widerspruch zur Annahme, der Bruch sei gekürzt.

Dennoch existiert $\sqrt{2}$ : es ist die Diagonale des Einheitsquadrats. Die rationalen Zahlen lassen also an einer bestens konstruierbaren Stelle eine Lücke.

Die Vollständigkeit FAKT

Die Eigenschaft, die $\mathbb{R}$ auszeichnet, passt in einen Satz: jede nichtleere, nach oben beschränkte Menge besitzt ein Supremum.

Nehmen wir die Menge der rationalen Zahlen, deren Quadrat kleiner als 2 ist. Sie ist nichtleer und nach oben beschränkt — doch innerhalb von $\mathbb{Q}$ hat sie keine kleinste obere Schranke: es lässt sich stets eine engere finden. In $\mathbb{R}$ existiert diese kleinste obere Schranke, und sie ist $\sqrt{2}$ .

Diese Eigenschaft kennzeichnet $\mathbb{R}$ : bis auf Isomorphie ist es der einzige vollständige, total geordnete Körper.

Eine größere Unendlichkeit FAKT

Die rationalen Zahlen lassen sich durchnummerieren: man kann sie in einer von den ganzen Zahlen indizierten Liste anordnen. Die reellen nicht — keine Liste schöpft sie aus.

Die Unendlichkeit der reellen Zahlen ist also strikt größer als die der rationalen, obwohl letztere überall dicht unter ersteren liegen: zwischen zwei verschiedenen reellen Zahlen, so nah sie sich auch sind, schiebt sich stets eine rationale.

Zusammenfassung

Die reelle Zahl ist die vervollständigte rationale: der Grenzübergang kommt immer irgendwo an.