1. Ziele und Voraussetzungen

Voraussetzung: eine Funktion auswerten und zwei Punkte aus ihrem Graphen lesen. Du lernst, eine Änderungsrate zu berechnen, als Sekantensteigung zu deuten, Einheiten zu erhalten und Intervalle zu vergleichen.

2. Definition: Ausgabeänderung pro Eingabeänderung

Für zwei verschiedene Eingaben a und b ist die Änderungsrate von f zwischen a und b gleich (f(b)-f(a))/(b-a). Der Zähler Δy=f(b)-f(a) ist die Ausgabeänderung, der Nenner Δx=b-a die Eingabeänderung. Es muss b≠a gelten.

3. Geometrische Bedeutung: Sekantensteigung

A=(a,f(a)) und B=(b,f(b)) liegen auf dem Graphen. Die Gerade durch A und B ist eine Sekante. Ihre Steigung ist genau Δy/Δx. Eine positive Rate liefert eine steigende, eine negative eine fallende und die Rate null eine horizontale Sekante.

4. Einheiten und Darstellungen

Die Einheit ist Ausgabeeinheit geteilt durch Eingabeeinheit: km/h, °C/h, €/Einheit usw. Man kann die Rate aus Formel oder Tabelle berechnen und aus einem Graphen durch Ablesen zweier Punkte schätzen. Graphisches Ablesen kann Rundungsfehler enthalten.

5. Gelöstes Beispiel

Für f(x)=x² von 1 bis 3 gilt f(1)=1 und f(3)=9. Also Δy=8, Δx=2 und die Änderungsrate ist 8/2=4. Die Sekante durch (1,1) und (3,9) hat damit die Steigung 4.

6. Übung

6.1. Mit der Quadratfunktion rechnen

Für f(x)=x² berechne die Änderungsrate von x=1 bis x=4. Gib f(1), f(4), Δx, Δy und anschließend den Quotienten Δy/Δx an.

Geführte Lösung. f(1)=1 und f(4)=16; Δy=15 und Δx=3; die Rate ist 5.

6.2. Eine Temperaturänderung vergleichen

Die Temperatur beträgt um 8 Uhr 12 °C, um 11 Uhr 18 °C und um 15 Uhr 20 °C. Berechne die mittlere Änderungsrate für 8–11 Uhr und 11–15 Uhr in °C/h. Vergleiche die Intervalle und erkläre, warum die Mittelwerte keine konstante Änderungsrate beweisen.

Erfolgskriterien. Beide Quotienten verwenden die richtigen Zeitspannen, die Einheiten sind angegeben und die Schlussfolgerung unterscheidet Intervallmittel und momentane Änderung.

6.3. Zwei Intervalle ohne Formelkopie vergleichen

Für g(x)=x²+1 berechne die Änderungsrate auf [-1,2] und auf [2,3]. Vergleiche die Ergebnisse und erläutere mit den beiden Sekanten, was der Unterschied über die Änderung von g aussagt.

Erfolgskriterien. Die Begründung rekonstruiert beide Quotienten aus g-Werten, vergleicht die mittleren Steigungen korrekt und nennt sie nicht Ableitungen.

7. Zusammenfassung

Eine Änderungsrate ist ein Quotient von Änderungen: Δy/Δx. Sie beschreibt die mittlere Änderung zwischen zwei verschiedenen Eingaben, ist die Steigung der zugehörigen Sekante und besitzt interpretierbare Einheiten.

8. Lehrplanquellen

• Französisches Bildungsministerium — Mathematik-Spezialprogramm Première générale 2026, Anhang S. 360, „Dérivation“: amtliches Bulletin.
• California Department of Education — F-IF.6 zur Berechnung und Interpretation mittlerer Änderungsraten: California Content Standards.

9. Revisionshinweis

Der Kurs wurde am 25. September 2026 aus zwei offiziellen Referenzen verschiedener Länder erstellt. Zahlenbeispiele wurden neu berechnet; Text und Übersetzungen wurden mit KI erstellt. Ein gemessener Lernzuwachs wird nicht behauptet.