Das Gesetz des abnehmenden Grenzertrags

Definition FAKT

Auf einem Grundstück von einem Hektar arbeitet zunächst ein Arbeiter, dann ein zweiter, dann ein zehnter. Die ersten zusätzlichen Arbeiter bewirken viel: Die Arbeit wird aufgeteilt, die Aufgaben werden spezialisiert, und die Ernte wächst rasch. Ab einer bestimmten Zahl trägt jeder weitere Arbeiter weniger bei als sein Vorgänger. Das liegt nicht daran, dass er schlecht arbeitet, sondern daran, dass er dasselbe Grundstück mit immer mehr Menschen teilt.

Das Gesetz des abnehmenden Grenzertrags ist die Standardhypothese, nach der bei unveränderter Technologie und konstant gehaltenen übrigen Produktionsfaktoren die durch eine zusätzliche Einheit des variablen Faktors erzielte Mehrproduktion schließlich abnimmt, wenn dieser Faktor zunimmt. Es beschreibt viele Technologien in der kurzen Frist, ist aber kein universelles Theorem.

Diese Aussage enthält vier Präzisierungen, von denen jede regelmäßig übersehen wird.

• Das Gesetz betrifft die zusätzliche Produktion – das Grenzprodukt – und nicht die Gesamtproduktion. Diese wächst weiter, solange das Grenzprodukt positiv bleibt, selbst wenn Letzteres sinkt.
• Es besagt „schließlich“. Nichts schließt aus, dass das Grenzprodukt zunächst steigt; die Hypothese behauptet, dass es nach einer bestimmten Schwelle sinkt, wenn der Faktor zunimmt.
• Es verlangt, dass die übrigen Faktoren konstant bleiben. Ohne diese Kontrolle misst man nicht mehr das Grenzprodukt des untersuchten Faktors; alle Faktoren gemeinsam zu verändern betrifft eine andere Frage, nämlich die der Skalenerträge.
• Es setzt eine unveränderte Technologie voraus. Es beschreibt das Verhalten einer gegebenen Produktionsfunktion und vergleicht niemals zwei verschiedene Verfahren.

Eine Produktionstabelle lesen FAKT

Betrachten wir ein Grundstück von einem Hektar – den fixen Faktor –, dem identische Arbeiter als einziger variabler Faktor hinzugefügt werden. Das Gesamtprodukt $Q$Q ist die Ernte in Dezitonnen; das Grenzprodukt $\mathrm{Pm}$Pm ist die dem letzten Arbeiter zurechenbare Erntedifferenz; das Durchschnittsprodukt $\mathrm{PM} = Q/L$PM=Q/L ist die Ernte geteilt durch die Zahl der Arbeiter.

In dieser Spalte des Grenzprodukts lassen sich drei Phasen erkennen, die nicht miteinander verwechselt werden dürfen.

• Bis zum dritten Arbeiter steigt das Grenzprodukt (10, dann 14, dann 15). Die Phase abnehmender Grenzerträge hat in dieser Tabelle noch nicht begonnen.
• Vom vierten bis zum siebten sinkt es (13, 10, 7, 4), bleibt dabei aber positiv: Dies sind die abnehmenden Erträge im eigentlichen Sinne. Bemerkenswert ist, dass die Gesamternte weiter zunimmt – von 39 auf 73 Dezitonnen. Ein Rückgang des Grenzprodukts bedeutet keinen Rückgang der Produktion.
• Beim achten wird das Grenzprodukt negativ: Die Gesamternte sinkt von 73 auf 72. Diese Phase unterscheidet sich von der vorherigen; das Gesetz behauptet sie nicht. Es besagt, dass das Grenzprodukt sinkt, nicht dass es unter null fällt.

Das Maximum des Gesamtprodukts, hier 73 Dezitonnen, wird beim letzten Arbeiter mit weiterhin positivem Grenzprodukt erreicht – beim siebten, dessen Beitrag noch 4 Dezitonnen beträgt. Sobald nämlich eine negative Menge hinzukommt, kann die Summe nur noch sinken.

Grenzprodukt und Durchschnittsprodukt FAKT

Die Tabelle zeigt eine Regelmäßigkeit, die nichts spezifisch Wirtschaftliches an sich hat: Sie gilt für jeden Durchschnitt.

Solange das Grenzprodukt über dem Durchschnittsprodukt liegt, zieht es den Durchschnitt nach oben. Sobald es darunter fällt, zieht es ihn nach unten. Das Durchschnittsprodukt steigt daher dort nicht weiter, wo das Grenzprodukt es erreicht und anschließend schneidet: Hier wird der Höchstwert 13,0 beim dritten und vierten Arbeiter erreicht, und beim vierten gilt $\mathrm{Pm} = \mathrm{PM} = 13$Pm=PM=13.

Dies ist die vertraute Eigenschaft jedes Durchschnitts: Eine über dem Durchschnitt liegende Note hebt ihn, eine darunter liegende senkt ihn, und eine gleiche lässt ihn unverändert. Mehr wird hier nicht vorausgesetzt.

Diese Lesart ist mit zwei Einschränkungen verbunden. Das genaue Zusammenfallen von Schnittpunkt und Maximum ist ein Ergebnis der Differentialrechnung – die Ableitung von $Q/L$Q/L verschwindet genau dann, wenn $\mathrm{Pm} = \mathrm{PM}$Pm=PM – und gilt in einer Tabelle ganzer Zahlen nur näherungsweise, da sich das Maximum wie hier über ein Plateau erstrecken kann. Außerdem ist die Gleichheit der beiden Größen beim ersten Arbeiter ($\mathrm{Pm} = \mathrm{PM} = 10$Pm=PM=10) eine bedeutungslose Identität: Bei nur einem Arbeiter ist das Durchschnittsprodukt das Grenzprodukt.

Diese Unterscheidung hat eine praktische Folge. Das Durchschnittsprodukt kann konstant bleiben, obwohl das Gesetz des abnehmenden Grenzertrags bereits gilt: Zwischen dem dritten und vierten Arbeiter sank das Grenzprodukt von 15 auf 13, während das Durchschnittsprodukt bei 13,0 blieb. Eine stabile Durchschnittsproduktivität zu beobachten beweist daher nicht, dass die Erträge nicht abnehmen.

Vom Grenzprodukt zu den Grenzkosten FAKT

Hier stellt das Gesetz die Verbindung zur Preisbildung her. Nehmen wir an, Arbeit sei der einzige variable Faktor und werde unabhängig von der Zahl der eingestellten Arbeiter stets mit demselben Lohn $w$w entlohnt – der Arbeitgeber nimmt den Marktlohn hin, ohne ihn zu beeinflussen –, und behandeln wir Arbeit als teilbar, eine Näherung, die eine stetige Schreibweise erlaubt, wo die Tabelle nur ganze Arbeiter zählt.

Eine zusätzliche Produktionseinheit erfordert dann $1/\mathrm{Pm}$1/Pm zusätzliche Arbeiter; sie kostet somit

$\mathrm{Cm} = \frac{w}{\mathrm{Pm}}$Cm=Pmw​

wobei $\mathrm{Cm}$Cm die Grenzkosten bezeichnet, also die Kosten einer zusätzlichen Einheit in der Umgebung des betrachteten Punktes. Unter diesen Annahmen und solange $\mathrm{Pm}>0$Pm>0 gilt, verhalten sich die Grenzkosten bis auf den Faktor $w$w umgekehrt zum Grenzprodukt: Wenn das eine sinkt, steigt das andere.

Bei einem Lohn von 100 € je Arbeiter:

In diesem Beispiel beschreiben die Grenzkosten eine U-förmige Kurve, weil das Grenzprodukt zunächst steigt, ein Maximum erreicht und dann sinkt. Das Gesetz erklärt den Anstieg der Grenzkosten, wenn das positive Grenzprodukt abnimmt; es verlangt keine vorherige Abwärtsphase. Ab dem vierten Arbeiter in dieser Tabelle wird jede weitere Produktionseinheit zunehmend teurer, ohne dass der Lohn steigt: Die Verteuerung entsteht durch den Rückgang des Grenzprodukts.

Daraus ergibt sich die Verbindung zur Angebotskurve. Ein Produzent, der den Marktpreis hinnimmt, wird nur dann eine weitere Einheit anbieten, wenn dieser Preis ihre Kosten deckt; da diese Kosten in der Phase abnehmender Erträge mit der Menge steigen, ist ein höherer Preis erforderlich, um eine größere Menge zu erhalten. In diesem kurzfristigen Modell lässt der Rückgang des Grenzprodukts die Grenzkosten und damit für ein preisnehmendes Unternehmen den relevanten Abschnitt seiner Angebotskurve ansteigen.

Drei Einschränkungen grenzen diese Schlussfolgerung ein. Die Argumentation setzt einen preisnehmenden Produzenten voraus. Bei unvollständigem Wettbewerb – insbesondere bei einem Monopol – gibt es im Allgemeinen keine von der Nachfrage unabhängige Angebotskurve, da Preis und Menge gemeinsam gewählt werden. Für ein Unternehmen im vollkommenen Wettbewerb bildet nur der Teil der Grenzkosten oberhalb des Minimums der durchschnittlichen variablen Kosten seine kurzfristige Angebotskurve. Auf Marktebene hängt die Steigung des Angebots außerdem von den Kostenunterschieden zwischen den Produzenten ab, die diese Argumentation außer Acht lässt.

Nicht mit Skalenerträgen verwechseln FAKT

Der Einwand liegt nahe: Angenommen, eine Fabrik verdoppelt sowohl ihre Maschinen als auch ihre Arbeiter, und ihre Produktion verdoppelt sich ebenfalls. Wäre das Gesetz dann falsch? Nein – es wird nicht dieselbe Frage gestellt.

Die beiden Begriffe sind somit nicht gleichbedeutend und können in derselben Technologie problemlos gemeinsam auftreten. Betrachten wir die Produktionsfunktion $Q = L^{1/2}K^{1/2}$Q=L1/2K1/2, wobei $K$K das Kapital bezeichnet. Multipliziert man beide Faktoren mit $t$t, ergibt sich

$(tL)^{1/2}(tK)^{1/2} = t\,L^{1/2}K^{1/2} = tQ$(tL)1/2(tK)1/2=tL1/2K1/2=tQ

also genau konstante Skalenerträge: Wird alles verdoppelt, verdoppelt sich die Produktion. Bei festem Kapital $\bar K$Kˉ nimmt das Grenzprodukt der Arbeit $\partial Q/\partial L = \tfrac{1}{2}L^{-1/2}\bar K^{1/2}$∂Q/∂L=21​L−1/2Kˉ1/2 dennoch streng mit $L$L ab, und zwar bereits ab der ersten Einheit.

Die Aussage des Beispiels ist präzise und genügt, um den Einwand zu widerlegen: Konstante Skalenerträge schließen ein abnehmendes Grenzprodukt keineswegs aus, wenn ein Faktor konstant gehalten wird. Es beweist nicht, dass alle Technologien mit konstanten Skalenerträgen diese Eigenschaft besitzen; beispielsweise weist auch $Q=L+K$Q=L+K konstante Skalenerträge auf, aber ein Grenzprodukt der Arbeit von 1.

In einer differenzierbaren Formulierung besagt die Hypothese, dass eine Schwelle $L^{*}$L∗ existiert, ab der $\partial^{2} Q/\partial L^{2} < 0$∂2Q/∂L2<0 gilt, wobei die Menge der übrigen Faktoren konstant gehalten wird. In einer Tabelle ganzer Zahlen entspricht dies Grenzdifferenzen, die jenseits der Schwelle abnehmen. Es handelt sich um eine Eigenschaft der Produktionsfunktion bei fixen Faktoren, nicht um ihr Verhalten, wenn sich alle Faktoren gemeinsam ändern.

Der Status des Gesetzes FAKT

Trotz seiner Bezeichnung ist das Gesetz kein aus Axiomen abgeleitetes Theorem: Es ist eine kurzfristige Produktionshypothese, deren Gültigkeit von der untersuchten Technologie abhängt. Eine beschränkte Produktion schließt lediglich aus, dass das Grenzprodukt unbegrenzt über einer positiven Schwelle bleibt; sie genügt nicht, um eine monotone Abnahme ab einem bestimmten Punkt zu beweisen.

Die Schwelle $L^{*}$L∗ lässt sich daher nicht aus einem allgemeinen Prinzip ableiten: Sie wird für eine gegebene Technologie und einen gegebenen Betriebsbereich gemessen oder geschätzt. In der hier konstruierten Tabelle beginnt der Rückgang beim vierten Arbeiter; eine andere Organisation, eine andere Ausstattung mit fixem Kapital oder eine Innovation könnten diese Schwelle im beobachteten Bereich verschieben, erhalten oder beseitigen.

Was das Gesetz voraussetzt – und was es nicht besagt FAKT

• Die übrigen Faktoren bleiben während der marginalen Veränderung konstant. Dies ist die notwendige Bedingung, um die gemessene Produktionsänderung dem untersuchten Faktor zuzurechnen. Allgemeiner ist die kurze Frist als der Zeithorizont definiert, in dem mindestens ein Faktor nicht angepasst werden kann; das hier beschriebene marginale Experiment hält jedoch alle Faktoren außer dem veränderten konstant.
• Die Technologie ändert sich nicht. Eine Innovation verändert die Produktionsfunktion, auf die die Hypothese angewandt wird. Eine von einer Generation zur nächsten steigende Ernte reicht daher nicht aus, um das Gesetz zu widerlegen, denn die beiden Beobachtungen können sich auf unterschiedliche Funktionen beziehen.
• Die Einheiten des variablen Faktors sind homogen. Sind die hinzugefügten Arbeiter zunehmend geringer qualifiziert, kann diese Heterogenität das Grenzprodukt verändern und die Messung verwischen. Die Beobachtung allein isoliert dann nicht die Wirkung der fixen Faktoren. Das Gesetz nimmt austauschbare Einheiten an, damit die Veränderung im Modell der produktiven Kombination und nicht einer Qualitätsänderung des variablen Faktors zugerechnet werden kann.
• Die Faktoren werden effizient eingesetzt. Die Tabelle vergleicht Punkte, an denen aus jeder Kombination die höchstmögliche Produktion erzielt wird. Ein durch schlechte Organisation verursachter Rückgang fällt nicht unter das Gesetz.

Schließlich besagt es nichts über das wünschenswerte Niveau. Wie weit der variable Faktor erhöht werden sollte, lässt sich nur bestimmen, indem der Ertrag der zusätzlichen Einheit mit ihren Kosten verglichen wird – also anhand von Preisen, die in der Aussage nicht vorkommen. Abnehmende Erträge beschreiben eine Technologie; sie schreiben keine Menge vor.

Zusammenfassung

Bei unveränderter Technologie führt die Erhöhung eines Faktors bei konstanten übrigen Faktoren häufig letztlich zu einem Rückgang seines Grenzprodukts; ist er der einzige variable Faktor, wird er zu einem konstanten Preis entlohnt und bleibt sein Grenzprodukt positiv, so erhöht dieser Rückgang die Grenzkosten.

Hauptquellen FAKT

• OpenStax — Production in the Short Run
• OpenStax — Costs in the Long Run
• OpenStax — Marginal Cost and the Firm's Supply Curve
• MIT OpenCourseWare — Production and Cost