1. Ziele und Voraussetzungen

Voraussetzungen: Mengen und reelle Zahlen. Ziel ist, Funktionen zu definieren, f(x) auszuwerten, Urbilder zu lesen, Darstellungen zu verbinden und einen passenden Definitionsbereich zu wählen.

2. Definition: eine Eingabe, eine Ausgabe

Eine Funktion f von D in eine Zielmenge ordnet jedem x in D genau eine Ausgabe f(x) zu. Mehrere Eingaben dürfen dieselbe Ausgabe haben; eine Eingabe darf nicht zwei verschiedene Ausgaben haben.

3. Definitionsbereich, Funktionswert und Urbild

Der Definitionsbereich enthält die zulässigen Eingaben. Der Funktionswert an der Stelle x ist f(x). Ein Urbild von y ist ein x mit f(x)=y. Der Kontext kann den Definitionsbereich einschränken.

4. Vier Darstellungen

Worte, Formel, Tabelle und Graph können dieselbe Funktion darstellen. Der Graph besteht aus (x,f(x)).

5. Gelöstes Beispiel

Für f(x)=2x+3 gilt f(2)=7; f(x)=7 liefert x=2.

6. Übung

6.1. Eine Funktion auswerten

Für f(x)=2x+3 berechne f(-2), f(0), f(4) und bestimme die Eingabe mit Ausgabe 7. Erstelle eine Eingabe-Ausgabe-Tabelle.

Geführte Lösung. f(-2)=-1, f(0)=3, f(4)=11; für Ausgabe 7 gilt x=2.

6.2. Einen Fahrpreis modellieren

Eine Fahrt kostet 4 € Grundgebühr plus 1,80 € pro km. Definiere C(d), einen realistischen Bereich, berechne C(0), C(2), C(5) und erläutere 1,80 und 4.

Erfolgskriterien. C(d)=4+1,8d mit d≥0; C(0)=4, C(2)=7,6, C(5)=13. 1,80 ist Preis pro km, 4 die Grundgebühr.

6.3. Eine Funktion erkennen

Eine Tabelle ordnet -1→3, 0→1, 1→1, 2→3 zu. Entscheide, ob sie eine Funktion ist, nenne die Ausgabe zu 2 und die Eingaben mit Ausgabe 1. Erkläre, warum 0→1 und 0→4 zusammen keine Funktion sind.

Erfolgskriterien. Die Begründung nutzt genau eine Ausgabe pro Eingabe und unterscheidet davon, dass mehrere Eingaben dieselbe Ausgabe haben dürfen.

7. Vertiefung: Was eine Funktion tatsächlich festlegt

7.1. Relation oder Funktion?

Eine Relation kann Objekte verbinden, ohne eine Funktion zu sein. Entscheidend sind die Eingaben: Jede Eingabe im Definitionsbereich muss genau eine Ausgabe besitzen. Eine Tabelle, in der dieselbe Eingabe zwei verschiedene Ausgaben hat, ist daher keine Funktion. Im Graphen y=f(x) entspricht dies dem Vertikallinientest.

Umgekehrt dürfen verschiedene Eingaben denselben Funktionswert besitzen. Bei der Quadratfunktion liefern -2 und 2 beide den Wert 4.

7.2. Definitionsbereich, Zielmenge und Bildmenge

Der Definitionsbereich enthält erlaubte Eingaben. Die Zielmenge gibt an, in welcher Menge Ausgaben liegen sollen. Die tatsächlich erreichten Werte bilden die Bildmenge. Für f(x)=x² als Abbildung von R nach R ist die Bildmenge [0,+∞). Diese Unterscheidung ist beim Suchen von Urbildern und bei Umkehrfunktionen wesentlich.

Auch der Kontext schränkt den Definitionsbereich ein. Bei g(x)=1/(x-2) ist x=2 algebraisch ausgeschlossen; Modelle für Zeit, Masse oder Strecke können weitere Bedingungen hinzufügen.

7.3. Stückweise Funktionen und Darstellungswechsel

Eine Vorschrift darf in verschiedenen Teilen des Definitionsbereichs unterschiedlich sein. Ein Tarif kann bis zu einer Grenze konstant und danach affin sein und bleibt dennoch eine Funktion, solange jede Eingabe genau eine Ausgabe hat. Formel, Tabelle und Graph müssen denselben Wechsel zeigen.

Der Wechsel zwischen Sprache, Formel, Tabelle und Graph ist zugleich eine Kontrolle des Modells: Jede Darstellung hebt andere Eigenschaften hervor und keine ist immer überlegen.

7.4. Graphen lesen und typische Fehler

f(3)=5 liest man, indem man von x=3 zum Graphen und dann zur Höhe y=5 geht. Urbilder von 5 sucht man umgekehrt auf der Höhe y=5; es können null, eins oder mehrere sein.

Typische Fehler sind: f(x) als Produkt f·x zu lesen, Zielmenge und Bildmenge gleichzusetzen, Definitionsbeschränkungen zu vergessen, mehrere Urbilder als Widerspruch zur Funktionsdefinition zu behandeln oder aus wenigen Tabellenpunkten eine eindeutige Formel zu behaupten.

8. Zusammenfassung

Eine Funktion ordnet jeder Eingabe ihres Definitionsbereichs genau eine Ausgabe zu.

9. Lehrplanquellen

• Französisches Bildungsministerium — Mathematikprogramm Seconde 2026, Abschnitt Funktionen: amtliches Bulletin.
• California Department of Education — F-IF.1 und F-IF.2: California Content Standards.

10. Hinweis

Vorbereitet am 20. September 2026 aus zwei offiziellen Rahmenwerken verschiedener Länder. Text und Übersetzungen mit KI; kein gemessener Lernzuwachs wird behauptet.