1. Ziel und Voraussetzungen

Voraussetzungen: eine Änderungsrate zwischen zwei Punkten berechnen und einen einfachen Grenzwert verstehen. Ziel ist, die Ableitung aus diesen beiden Ideen aufzubauen und anschließend als Steigung und momentane Änderung zu deuten.

Am Ende kannst du den Differenzenquotienten erklären, eine einfache Ableitung aus der Definition berechnen und eine Tangentengleichung aufstellen.

2. Von Sekanten zur Tangente

Für eine Funktion f und eine Stelle a wählen wir eine zweite Stelle a+h. Die Änderungsrate zwischen beiden Punkten ist

(f(a+h)-f(a))/h, mit h≠0.

Geometrisch ist dies die Steigung der Sekante durch (a,f(a)) und (a+h,f(a+h)). Wird h kleiner, rückt der zweite Punkt an den ersten heran. Nähern sich die Sekantensteigungen einem eindeutigen Wert, beschreibt dieser die lokale Steigung der Kurve.

3. Definition der Ableitung an einer Stelle

f heißt in a differenzierbar, wenn der Grenzwert

f'(a)=lim_{h→0}(f(a+h)-f(a))/h

existiert und endlich ist. Die Zahl f'(a) ist die Ableitung von f an der Stelle a.

Die Aussage ist lokal. Sie bedeutet nicht, dass die Funktion in der Umgebung exakt linear ist, sondern dass ihre Änderung auf hinreichend kleiner Skala durch eine Gerade mit Steigung f'(a) gut angenähert wird.

4. Geometrische Bedeutung und Tangentengleichung

Die Tangente an den Graphen von f im Punkt A=(a,f(a)) hat die Steigung f'(a). Ihre Gleichung lautet

y=f(a)+f'(a)(x-a).

Das Vorzeichen von f'(a) liefert lokale Information: positiv bedeutet ansteigend, negativ fallend, null eine horizontale Tangente. Eine Ableitung von null beweist allein noch kein Maximum oder Minimum.

5. Gelöstes Beispiel aus der Definition

Sei f(x)=x² und a=2.

(f(2+h)-f(2))/h=((2+h)²-4)/h.

Ausmultiplizieren ergibt (4+4h+h²-4)/h=(4h+h²)/h=4+h für h≠0.

Für h→0 geht 4+h gegen 4. Also ist f'(2)=4.

Die Tangente geht durch (2,4) und hat Steigung 4:

y=4+4(x-2)=4x-4.

Damit wird die Ableitung hergeleitet, ohne die Regel (x²)'=2x vorauszusetzen.

6. Momentane Änderung und Einheiten

Stellt f einen Ort in Metern und die Eingabe eine Zeit in Sekunden dar, hat eine mittlere Änderungsrate die Einheit m/s. Die Ableitung behält diese Einheit, beschreibt aber den momentanen Grenzwert.

Sie misst nicht direkt ein endliches Zeitintervall, sondern den Wert, dem sich die mittleren Raten beim Zusammenziehen des Intervalls annähern.

7. Übung

7.1. Aus der Definition ableiten

Für f(x)=x² berechne f'(3) aus dem Grenzwert von (f(3+h)-f(3))/h für h→0. Multipliziere aus, vereinfache vor dem Grenzübergang und deute das Ergebnis als Steigung.

Geführte Lösung. Für h≠0 vereinfacht sich der Quotient zu 6+h, also ist der Grenzwert 6; die Tangente bei x=3 hat Steigung 6.

7.2. Momentangeschwindigkeit beobachten

Modelliere den Ort durch s(t)=t² Meter, t in Sekunden. Berechne die mittleren Geschwindigkeiten von t=2 bis t=2+h für h=1, 0,5 und 0,1. Vergleiche sie und erkläre, was ihre Annäherung an einen Wert nahelegt.

Erfolgskriterien. Die Quotienten verwenden die richtigen Zeitintervalle, die Einheit m/s ist angegeben und die Deutung unterscheidet Intervallmittel und momentanen Grenzwert.

7.3. Eine Ableitung ohne fertige Regel gewinnen

Bestimme für g(x)=x³ die Ableitung g'(1) aus der Definition mit (g(1+h)-g(1))/h. Gib anschließend die Tangentengleichung bei x=1 an und begründe jeden Schritt.

Erfolgskriterien. Die Antwort entwickelt die dritte Potenz, klammert h vor dem Grenzübergang aus, erhält die richtige Steigung und konstruiert die Tangente durch (1,1), ohne direkt (x³)'=3x² zu verwenden.

8. Zusammenfassung

Die Ableitung an einer Stelle ist ein Grenzwert von Änderungsraten. Diese Raten sind Sekantensteigungen; ihr Grenzwert liefert die Tangentensteigung. Dieselbe Zahl kann eine momentane Änderung mit kontextabhängigen Einheiten beschreiben.

9. Lehrplanquellen

• Französisches Bildungsministerium — Mathematik-Spezialprogramm Première générale 2026, Abschnitt „Dérivation“: offizielles Bulletin.
• UK Department for Education — GCE AS and A level Mathematics, Abschnitt G „Differentiation“: offizieller Inhalt.

10. Revisionshinweis

Die Lektion wurde am 26. September 2026 aus zwei offiziellen Rahmenwerken verschiedener Länder erstellt. Rechnungen wurden erneut geprüft und alle acht Sprachversionen in zwei Durchgängen durch dasselbe Modell überprüft; keine unabhängige menschliche Validierung oder gemessene Lernsteigerung wird behauptet.