Eine Wahrscheinlichkeit ist ein Maß zwischen 0 und 1 auf Ereignissen; drei Axiome genügen, um alles Übrige herzuleiten.

Die Wahrscheinlichkeit

Definition

Eine Wahrscheinlichkeit ist eine einem Ereignis zugeordnete Zahl zwischen 0 und 1, die den Anteil misst, den es unter allen möglichen Ausgängen einnimmt.

Die Menge dieser Ausgänge bildet den Ergebnisraum, geschrieben $\Omega$ . Ein Ereignis ist eine Teilmenge davon: „der Würfel zeigt eine gerade Zahl" ist die Teilmenge $\{2, 4, 6\}$ .

Die drei Axiome

Die gesamte Wahrscheinlichkeitsrechnung ruht auf drei Aussagen, und auf nichts sonst:

Axiom	Aussage	Was es verlangt
Nichtnegativität	$P(A) \geq 0$	Eine Wahrscheinlichkeit ist nie negativ
Gesamtmasse	$P(\Omega) = 1$	Irgendetwas tritt zwangsläufig ein
Additivität	$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ falls $A \cap B = \emptyset$	Unvereinbare Ereignisse addieren sich

Das dritte gilt auch für abzählbare Vereinigungen, was für unendliche Ergebnisräume ausreicht.

Was daraus folgt

Diese drei Regeln sind kein willkürlicher Ausgangspunkt: sie erzeugen die geläufigen Identitäten.

$P(\bar{A}) = 1 - P(A) \qquad P(\emptyset) = 0 \qquad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Die letzte berichtigt die Doppelzählung: addiert man $P(A)$ und $P(B)$ , wird doppelt gezählt, was beiden angehört, und muss einmal abgezogen werden. Die Additivität allein gilt nur für disjunkte Ereignisse.

Bedingen, und die Unabhängigkeit

Zu wissen, dass $B$ eingetreten ist, verändert den Anteil von $A$ . Der Ergebnisraum wird dann auf $B$ eingeschränkt:

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0$

Zwei Ereignisse heißen unabhängig, wenn diese Einschränkung nichts ändert: $P(A \mid B) = P(A)$ , gleichbedeutend mit $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$ .

Unabhängigkeit ist eine numerische Eigenschaft, keine Intuition. Zwei Ereignisse können ohne kausalen Zusammenhang dennoch abhängig sein, und auch der umgekehrte Fall kommt vor.

Was die Axiome nicht sagen

Der Formalismus legt die Rechenregeln fest und schweigt über ihren Sinn. Zwei Lesarten bestehen nebeneinander: die frequentistische, in der eine Wahrscheinlichkeit der Grenzwert einer Häufigkeit über Wiederholungen ist; die bayessche, in der sie einen revidierbaren Glaubensgrad misst.

Beide gehorchen denselben drei Axiomen und liefern dieselben Zahlen. Ihr Streit betrifft die Deutung, nicht die Rechnung.

Zusammenfassung

Drei Axiome begründen die gesamte Wahrscheinlichkeitsrechnung, und keines sagt, was eine Wahrscheinlichkeit bedeutet.