Der Grenzwert
Definition FAKT
Eine Funktion f strebt gegen L, wenn x gegen a strebt, sofern sich f(x) beliebig nahe an L bringen lässt, indem man x nahe genug an a wählt.
Die Stelle a selbst ist ausgeschlossen. Darin liegt die ganze Tragweite des Begriffs: der Grenzwert beschreibt eine Umgebung, keinen Wert.
Was die Definition ausschließen muss FAKT
„Beliebig nahe" ist kein mathematischer Satz, solange nicht gesagt ist, wer wählt und in welcher Reihenfolge. Die sogenannte ε-δ-Formulierung legt beides fest:
∀ε>0, ∃δ>0:0<∣x−a∣<δ⟹∣f(x)−L∣<ε
Der Gegner gibt zuerst eine Schranke ε auf der Zielseite vor; danach ist eine Schranke δ auf der Ausgangsseite zu liefern, die sie einhält. Die Reihenfolge der Quantoren ist die Aussage: δ hängt von ε ab, nie umgekehrt.
Der Fall, der alles rechtfertigt FAKT
Betrachten wir f(x)=x−1x2−1.
An der Stelle x=1 ist der Ausdruck sinnlos: der Nenner verschwindet. Für jedes x=1 lässt er sich jedoch kürzen:
x−1x2−1=x−1(x−1)(x+1)=x+1
Die Funktion ist also überall gleich x+1, außer bei 1, wo sie nicht definiert ist. Ihr Grenzwert bei 1 ist 2 — ein Wert, den die Funktion nie annimmt.
Drei Verhaltensweisen FAKT
| An einer Stelle | Beispiel | Verhalten |
|---|---|---|
| Konvergiert | x−1x2−1 bei 1 | Strebt gegen 2 |
| Divergiert | x1 bei 0 | Wächst unbeschränkt |
| Oszilliert | sin(x1) bei 0 | Legt sich auf keinen Wert fest |
Die letzten beiden haben keinen Grenzwert. Divergieren und Oszillieren sind zwei verschiedene Arten des Scheiterns: die erste hat eine Richtung, die zweite keine.
Die Stetigkeit folgt daraus FAKT
Eine Funktion ist an der Stelle a stetig, wenn drei Bedingungen zugleich gelten: f(a) existiert, der Grenzwert bei a existiert, und beide stimmen überein.
x→alimf(x)=f(a)
Die Funktion des vorigen Abschnitts scheitert an der ersten: ihr Grenzwert existiert, ihr Wert nicht. Man kann sie stetig machen, indem man f(1)=2 setzt — eine stetige Fortsetzung.
Zusammenfassung
Der Grenzwert sagt, wogegen eine Funktion strebt, unabhängig davon, was sie an der Stelle ist.