Der Grenzwert
Definition
Eine Funktion f strebt gegen L, wenn x gegen a strebt, sofern sich f(x) beliebig nahe an L bringen lässt, indem man x nahe genug an a wählt.
Die Stelle a selbst ist ausgeschlossen. Darin liegt die ganze Tragweite des Begriffs: der Grenzwert beschreibt eine Umgebung, keinen Wert.
Was die Definition ausschließen muss
„Beliebig nahe" ist kein mathematischer Satz, solange nicht gesagt ist, wer wählt und in welcher Reihenfolge. Die sogenannte ε-δ-Formulierung legt beides fest:
∀ε>0, ∃δ>0:0<∣x−a∣<δ⟹∣f(x)−L∣<ε
Der Gegner gibt zuerst eine Schranke ε auf der Zielseite vor; danach ist eine Schranke δ auf der Ausgangsseite zu liefern, die sie einhält. Die Reihenfolge der Quantoren ist die Aussage: δ hängt von ε ab, nie umgekehrt.
Der Fall, der alles rechtfertigt
Betrachten wir f(x)=x−1x2−1.
An der Stelle x=1 ist der Ausdruck sinnlos: der Nenner verschwindet. Für jedes x=1 lässt er sich jedoch kürzen:
x−1x2−1=x−1(x−1)(x+1)=x+1
Die Funktion ist also überall gleich x+1, außer bei 1, wo sie nicht definiert ist. Ihr Grenzwert bei 1 ist 2 — ein Wert, den die Funktion nie annimmt.
Drei Verhaltensweisen
| An einer Stelle | Beispiel | Verhalten |
|---|---|---|
| Konvergiert | x−1x2−1 bei 1 | Strebt gegen 2 |
| Divergiert | x1 bei 0 | Wächst unbeschränkt |
| Oszilliert | sin(x1) bei 0 | Legt sich auf keinen Wert fest |
Die letzten beiden haben keinen Grenzwert. Divergieren und Oszillieren sind zwei verschiedene Arten des Scheiterns: die erste hat eine Richtung, die zweite keine.
Die Stetigkeit folgt daraus
Eine Funktion ist an der Stelle a stetig, wenn drei Bedingungen zugleich gelten: f(a) existiert, der Grenzwert bei a existiert, und beide stimmen überein.
x→alimf(x)=f(a)
Die Funktion des vorigen Abschnitts scheitert an der ersten: ihr Grenzwert existiert, ihr Wert nicht. Man kann sie stetig machen, indem man f(1)=2 setzt — eine stetige Fortsetzung.
Zusammenfassung
Der Grenzwert sagt, wogegen eine Funktion strebt, unabhängig davon, was sie an der Stelle ist.