Eine Menge fasst wohldefinierte Objekte zusammen; Zugehörigkeit, Inklusion und Operationen beschreiben ihre Struktur.

Mengen

Definition

Eine Menge ist eine Sammlung wohldefinierter Objekte, ihrer Elemente. Zum Beispiel

$A=\{2,4,6\}$

und $4\in A$ bedeutet, dass 4 zu $A$ gehört. Dagegen gilt $5\notin A$ .

Reihenfolge und Wiederholungen ändern eine Menge nicht: $\{2,4,6\}$ , $\{6,4,2\}$ und $\{2,2,4,6\}$ bezeichnen dieselbe Menge. Entscheidend ist nur, welche Elemente dazugehören.

Eine Menge beschreiben

Man kann ihre Elemente aufzählen:

$B=\{a,e,i,o,u\}$

oder sie durch eine Eigenschaft definieren:

$C=\{n\in\mathbb{N}\mid n<5\}=\{0,1,2,3,4\}$

Hier gilt die Konvention $0\in\mathbb{N}$ . Der senkrechte Strich wird „so dass“ gelesen. Die Eigenschaft muss eindeutig entscheiden, ob ein Objekt zur Menge gehört.

Leere Menge, Gleichheit und Kardinalität

Die leere Menge $\varnothing$ enthält kein Element. Sie ist nicht mit $\{\varnothing\}$ zu verwechseln, das ein Element enthält: die leere Menge selbst.

Zwei Mengen sind gleich, wenn sie genau dieselben Elemente haben. Für eine endliche Menge $A$ ist ihre Kardinalität $|A|$ die Zahl ihrer Elemente. Für $A=\{2,4,6\}$ gilt $|A|=3$ .

Inklusion und Teilmengen

$A\subseteq B$ bedeutet, dass jedes Element von $A$ auch zu $B$ gehört. Zum Beispiel

$\{2,4\}\subseteq\{1,2,3,4\}$

Zugehörigkeit und Inklusion sind verschieden: $2\in A$ vergleicht ein Objekt mit einer Menge; $A\subseteq B$ vergleicht Mengen. Jede Menge ist in sich selbst enthalten, und die leere Menge ist in jeder Menge enthalten.

Drei grundlegende Operationen

Seien $A=\{1,2,3\}$ und $B=\{3,4\}$ .

Operation	Bedeutung	Ergebnis
Vereinigung $A\cup B$	Elemente in $A$ oder $B$	$\{1,2,3,4\}$
Schnitt $A\cap B$	Gemeinsame Elemente von $A$ und $B$	$\{3\}$
Differenz $A\setminus B$	Elemente aus $A$ , die nicht in $B$ sind	$\{1,2\}$

Das „oder“ der Vereinigung ist inklusiv: Ein Element in beiden Mengen gehört zur Vereinigung, erscheint dort aber nur einmal. Bei festgelegter Universalmenge $U$ ist das Komplement von $A$ in $U$ gleich $U\setminus A$ . Ohne Universum ist „das Komplement von $A$ “ unvollständig.

Diagramme helfen, definieren aber nicht

Ein Venn-Diagramm stellt Mengen als Regionen dar. Überlappung visualisiert den Schnitt, die vereinigten Regionen visualisieren die Vereinigung. Es ist eine Denkhilfe, keine Definition: Ein Beweis kehrt zu Zugehörigkeitsbedingungen zurück.

Für $A\cap B\subseteq A$ wählt man $x\in A\cap B$ . Nach Definition gilt $x\in A$ und $x\in B$ , also $x\in A$ .

Warum die Abstraktion nützlich ist

Mengen liefern Mathematik und Informatik ein gemeinsames Vokabular. Wertebereiche, Abfrageergebnisse, Graphknoten oder von einer Regel akzeptierte Fälle lassen sich als Mengen behandeln. Relationen werden Mengen geordneter Paare, Funktionen nutzen Definitions- und Zielmenge. Mengen sind daher Voraussetzung für Relationen, Funktionen, Datenbanken, Wahrscheinlichkeit und Graphen.

Zusammenfassung

Eine Menge wird durch ihre Elemente bestimmt: Zugehörigkeit verbindet ein Objekt mit einer Menge; Inklusion vergleicht Mengen; Vereinigung, Schnitt und Differenz bilden neue Mengen.

Pädagogische Quellen