Die reelle Analysis
Was die Analysis untersucht
Die reelle Analysis untersucht Funktionen einer reellen Veränderlichen mit einem einzigen Werkzeug: dem Grenzübergang. Stetigkeit, Ableitung, Integral, Reihen — alles lässt sich darauf zurückführen.
Sie ist keine Ansammlung unabhängiger Ergebnisse. Sie ist ein Bau auf einer einzigen Eigenschaft, und er stürzt ganz ein, wenn man diese entfernt.
Das einzige Fundament
Diese Eigenschaft ist die Vollständigkeit: jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge von R besitzt ein Supremum.
Die großen Sätze der Analysis werden daraus nicht nur hergeleitet — sie sind ihr äquivalent. Einen von ihnen zuzugestehen heißt, die Vollständigkeit zuzugestehen, und umgekehrt.
| Satz | Aussage |
|---|---|
| Zwischenwertsatz | Eine stetige Funktion mit Vorzeichenwechsel hat eine Nullstelle |
| Extremwertsatz | Eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall nimmt ihr Maximum an |
| Bolzano-Weierstraß | Jede beschränkte Folge hat eine konvergente Teilfolge |
| Cauchy-Kriterium | Jede Cauchy-Folge konvergiert |
Der Bau über ℚ
Am besten sieht man, was die Vollständigkeit leistet, wenn man sie wegnimmt. Stellen wir uns auf Q, wo sie fehlt, und nehmen:
f(x)=x2−2auf[1,2]∩Q
Diese Funktion ist stetig, f(1)=−1<0 und f(2)=2>0. Der Zwischenwertsatz verlangte eine Nullstelle. Es gibt keine: die Wurzel ist 2, und die ist nicht rational.
Dieselbe Lücke bringt die drei anderen zu Fall. Die Folge der Dezimalnäherungen von 2 ist in Q eine Cauchy-Folge und konvergiert dort nicht; sie ist beschränkt und besitzt dort keine konvergente Teilfolge.
Ableitung und Integral sind Grenzwerte
Die beiden zentralen Operationen sind nichts als verkleidete Grenzübergänge:
f′(a)=h→0limhf(a+h)−f(a)
Ebenso ist das Riemann-Integral der Grenzwert von Summen von Rechtecksflächen, deren Breite gegen null geht.
Keine von beiden hat einen Sinn ohne die Gewähr, dass diese Grenzwerte existieren. Deshalb hätte sich die Differential- und Integralrechnung nicht allein auf die rationalen Zahlen gründen können.
Was „streng" schließlich bedeutete
Die Analysis arbeitete lange mit Anschauungen von Stetigkeit und Unendlichkleinem, die richtige Ergebnisse lieferten, ohne dass man wusste, warum.
Die ε-δ-Formulierung und die ausdrückliche Konstruktion von R ersetzten diese Anschauungen durch prüfbare Aussagen. Der Gewinn liegt nicht in neuen Ergebnissen, sondern darin, genau angeben zu können, von welcher Voraussetzung jeder Satz abhängt.
Zusammenfassung
Nimm die Vollständigkeit weg, und die Analysis hört auf: ihre Sätze sind ihr äquivalent, nicht bloß untergeordnet.