Der Zinseszins

Definition

Hundert Euro, zu 5 % pro Jahr verliehen, bringen im ersten Jahr 5 € ein. Über das Schicksal dieser 5 € ist noch zu entscheiden. Nimmt man sie heraus, bleibt das verliehene Kapital bei 100 €, und das zweite Jahr bringt erneut 5 € ein. Lässt man sie stehen, wird das Kapital zu 105 €, und das zweite Jahr bringt 5,25 € ein — denn der Zins des ersten Jahres trägt nun selbst Zinsen.

Der Zinseszins ist der Zins, der auf ein Kapital berechnet wird, dem die Zinsen der vorangegangenen Perioden zugeschlagen wurden. Dieses Zuschlagen trägt einen Namen: die Aufzinsung.

Der Mechanismus steckt also vollständig in einer Regel zur Behandlung der aufgelaufenen Zinsen: sie dem Berechtigten auszuzahlen oder sie dem Kapital einzuverleiben. Nichts anderes unterscheidet die beiden Berechnungsweisen.

Einfacher Zins und Zinseszins

Bezeichnen wir mit $C$C das Anfangskapital, mit $i$i den als Bruchteil ausgedrückten Satz je Periode (5 % schreibt sich $0{,}05$0,05) und mit $n$n die Anzahl der Perioden.

Beim einfachen Zins bringt jede Periode denselben Betrag $Ci$Ci ein, stets auf das Anfangskapital berechnet:

$V_n = C\,(1 + n\,i)$Vn​=C(1+ni)

Beim Zinseszins multipliziert jede Periode die erreichte Summe mit demselben Faktor $1+i$1+i — dem Wachstumsfaktor der Progression:

$V_n = C\,(1 + i)^n$Vn​=C(1+i)n

Über eine Periode fallen beide Weisen zusammen, da noch kein Zins hat aufgezinst werden können. Es ist die Dauer, die sie trennt, und der Abstand ist nicht belanglos. Für 100 € zu 5 % pro Jahr:

Sobald der Satz positiv ist, wächst das Verhältnis der beiden Spalten unbegrenzt mit $n$n: Der Zähler $(1+i)^n$(1+i)n wächst geometrisch, mit dem Wachstumsfaktor $1+i > 1$1+i>1, während der Nenner $1+ni$1+ni nur affin wächst. Keine Dauer begrenzt daher den Vorsprung der Aufzinsung — er vergrößert sich weiter, solange das Kapital stehen bleibt.

Warum die Progression geometrisch ist

Der Wert am Ende einer Periode ergibt sich stets auf dieselbe Weise aus dem der vorangegangenen Periode:

$V_{k+1} = V_k + i\,V_k = V_k\,(1+i)$Vk+1​=Vk​+iVk​=Vk​(1+i)

Der in jeder Periode erzeugte Zins ist der vorhandenen Summe proportional, und diese Summe wächst: Der erzielte Betrag wächst also mit ihr, während er beim einfachen Zins unverändert blieb. Da der Faktor $1+i$1+i weder von $k$k noch von $V_k$Vk​ abhängt, ergibt die $n$n-malige Anwendung der Beziehung $V_n = C(1+i)^n$Vn​=C(1+i)n — ein Beweis durch vollständige Induktion, dessen Induktionsschritt diese Gleichung ist und dessen Induktionsanfang $V_0 = C$V0​=C lautet.

Diese Eigenschaft — ein Zuwachs, der zur bereits vorhandenen Menge proportional ist — ist das Kennzeichen exponentiellen Wachstums, sofern der Proportionalitätsfaktor in jeder Periode derselbe bleibt. In diskreter Zeit, Periode für Periode, nimmt sie die Gestalt einer geometrischen Folge an.

Die Verdopplungszeit

Wie viele Perioden braucht es, damit sich das Kapital verdoppelt? Es genügt, $(1+i)^n = 2$(1+i)n=2 zu lösen:

$n = \frac{\ln 2}{\ln(1+i)}$n=ln(1+i)ln2​

Diese Zahl hängt nicht vom Kapital ab: 100 € oder 100 Millionen zu verdoppeln dauert gleich lang, weil die Formel multiplikativ ist.

Da $\ln 2 \approx 0{,}693$ln2≈0,693 und $\ln(1+i) \approx i$ln(1+i)≈i für kleine Sätze gilt, erhält man zunächst $n \approx 69{,}3/(100\,i)$n≈69,3/(100i). Die Praxis hebt diese Zahl auf 72 an, was zu der Näherung führt, die 72er-Regel heißt: Die Verdopplungszeit beträgt etwa $72/(100\,i)$72/(100i), also 72 geteilt durch den in Prozent ausgedrückten Satz. Diese Ersetzung ist eine Rechenbequemlichkeit, kein exaktes Ergebnis: 72 lässt sich durch mehr ganze Zahlen teilen als 69 oder 70, die beiden ganzen Zahlen, die 69,3 einschließen. Die Anhebung gleicht überdies die Verzerrung aus, die die Näherung $\ln(1+i) \approx i$ln(1+i)≈i hinterlässt — sie hebt sie um 8 % herum auf, übertrifft sie bei niedrigeren Sätzen und schließt sie bei höheren Sätzen nicht ganz.

Die Näherung ist um 8 % herum ausgezeichnet und verschlechtert sich an beiden Enden: Sie überschätzt die Frist bei niedrigeren Sätzen und unterschätzt sie bei höheren. Sie ist ein Werkzeug fürs Kopfrechnen, kein Ersatz für die Formel.

Die Häufigkeit der Aufzinsung

Ein genannter Satz genügt nicht, um eine Rendite zu bestimmen: Man muss wissen, in welchem Rhythmus die Zinsen dem Kapital einverleibt werden. Per Konvention wendet ein jährlicher Nominalzins $i$i, der $m$m-mal jährlich aufgezinst wird, $m$m-mal den Periodensatz $i/m$i/m an — mathematisch zwingt nichts dazu, es ist eine Marktkonvention. Am Ende eines Jahres, also nach $m$m Aufzinsungsperioden, ist das Kapital demnach wert:

$C\left(1 + \frac{i}{m}\right)^{m}$C(1+mi​)m

Der jährliche Effektivzins ist der tatsächlich über das Jahr erzielte Zuwachs, also $(1+i/m)^m - 1$(1+i/m)m−1. Für einen Nominalzins von 10 %:

Bei positivem Nominalzins erhöht häufigeres Aufzinsen also den Effektivzins. Zwei Nominalzinsen sind somit nur vergleichbar, wenn man sie auf dieselbe Frequenz bringt — oder in Effektivzinsen umrechnet.

Doch der Gewinn erschöpft sich: Die Folge hebt nicht ab, sie konvergiert. Ihr Grenzwert bei unbegrenzt wachsendem $m$m definiert die stetige Aufzinsung:

$\lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{i}{m}\right)^{m} = e^{\,i}$m→∞lim​(1+mi​)m=ei

wobei $e \approx 2{,}71828$e≈2,71828 die bemerkenswerte Zahl ist, die sich im Fall $i = 1$i=1 ergibt, also $\lim_{m \to \infty}(1+1/m)^m$limm→∞​(1+1/m)m. Hier ist $e^{0{,}1} \approx 1{,}105171$e0,1≈1,105171, also 10,5171 % effektiv. Zwischen der täglichen und der stetigen Aufzinsung bleiben weniger als zwei Tausendstel Prozentpunkt: Jenseits eines gewissen Rhythmus ändert eine höhere Frequenz fast nichts mehr.

Dieser Grenzwert hat einen eigenen Nutzen, den die Rechnung mit endlichem $m$m nicht bietet: $e^{\,i}$ei hängt nicht mehr von $m$m ab. Er liefert damit einen einheitlichen, vom Aufzinsungsrhythmus unabhängigen Bezugswert und eine Schreibweise $C\,e^{\,iT}$CeiT — wobei $T$T die in Jahren gezählte Dauer ist, also $n = mT$n=mT Aufzinsungsperioden —, die sich einfacher handhaben lässt als $C(1+i/m)^{mT}$C(1+i/m)mT.

Das Bild vom Schneeball

Man beschreibt die Aufzinsung oft als Schneeball: Im Rollen nimmt er Schnee auf, wird größer, und seine gewachsene Oberfläche lässt ihn noch mehr aufnehmen. Das Bild gibt den wesentlichen Zug getreu wieder — der Zuwachs hängt von der bereits erreichten Größe ab.

In einem Punkt hört es auf, getreu zu sein: Ein wirklicher Hang hat eine Länge, der Schnee eine endliche Menge, und der Ball kommt am Ende zum Stehen oder zerbricht. Die Formel $C(1+i)^n$C(1+i)n dagegen enthält keinen Sättigungsterm: Nichts in ihr begrenzt das Wachstum. Die Analogie erhellt den Mechanismus, sie beweist nichts und darf nicht für eine Beschreibung der Grenzen des wirklichen Mechanismus gehalten werden.

Was die Formel voraussetzt

Die Gleichung $V_n = C(1+i)^n$Vn​=C(1+i)n ist unter vier Bedingungen exakt, und ihr Ergebnis lässt sich nur unter zwei weiteren richtig deuten.

Damit die Formel gilt:

• Ein über den gesamten Horizont konstanter Satz. Ändert sich der Satz von einer Periode zur anderen, müssen die Faktoren einzeln miteinander multipliziert werden: $V_n = C\,(1+i_1)(1+i_2)\cdots(1+i_n)$Vn​=C(1+i1​)(1+i2​)⋯(1+in​). Die Potenz ist davon nur der Sonderfall, in dem alle Sätze gleich sind.
• Eine tatsächliche Aufzinsung. Zinsen, die in jeder Periode ausgezahlt und entnommen werden, fallen unter den einfachen Zins, wie das Produkt auch heißen mag.
• Ein unangetastetes Kapital. Jede Einzahlung oder Entnahme von Kapital unterwegs fällt aus der Formel heraus: Jeder Zahlungsstrom muss dann gesondert, ab seinem eigenen Datum, aufgezinst werden.
• Ausschließlich proportionale Abzüge. Eine feste Gebühr je Periode führt den Wert aus der Form $C(1+i)^n$C(1+i)n heraus, da man dann einen Betrag abzieht, den der Faktor nicht aufnehmen kann. Ein proportionaler Abzug hingegen bewahrt die Form — verändert aber den anzuwendenden Satz, wie die nächste Bedingung sagt.

Damit das Ergebnis etwas bedeutet:

• Der richtige Satz. Proportionale Gebühren und Steuern, die in jeder Periode anfallen, verringern den Faktor: In die Formel gehört der Nettosatz. Der Abstand zwischen brutto und netto vergrößert sich dann mit der Dauer, ihr Verhältnis wächst wie die $n$n-te Potenz von $(1+i)/(1+i_{\mathrm{net}})$(1+i)/(1+inet​).
• Eine stabile Maßeinheit. Eine Rendite von 5 % in laufenden Euro lässt, wenn die Preise um 3 % steigen, nicht 2 % zusätzliche Kaufkraft übrig, sondern $1{,}05/1{,}03 - 1 \approx 1{,}94\,\%$1,05/1,03−1≈1,94%: Die Sätze verketten sich multiplikativ, sie addieren sich nicht. Die Subtraktion ist davon nur eine Näherung, und zwar eine umso gröbere, je höher die Sätze sind. (Das Wort nominal nimmt hier einen zweiten Sinn an — vor Bereinigung um die Inflation, im Gegensatz zu einer realen Rendite — der nicht mit dem Nominalzins aus dem Abschnitt über die Häufigkeit der Aufzinsung zu verwechseln ist, welcher dem Effektivzins gegenübersteht.)

Schließlich zwei Bemerkungen. Der Mechanismus ist gleichgültig gegenüber der Richtung des Kredits: Eine Schuld, deren unbezahlte Zinsen dem Kapital zugeschlagen werden, wächst nach genau derselben Formel. Und liegt $i$i zwischen $-1$−1 und $0$0, so liegt der Faktor $1+i$1+i zwischen 0 und 1: Dieselbe geometrische Folge beschreibt dann eine Erosion, die dem Absolutbetrag nach immer langsamer verläuft.

Zusammenfassung

Der Zinseszins lässt den Zins auf die bereits erworbenen Zinsen wirken: Die Summe folgt einer geometrischen Folge mit dem Wachstumsfaktor $1+i$1+i, deren Vorsprung vor dem einfachen Zins, sobald der Satz positiv ist, mit der Dauer unbegrenzt wächst.