1. Objetivos e pré-requisitos

Pré-requisitos: conjuntos e números reais. Você aprenderá a definir função, avaliar f(x), ler imagens e antecedentes, relacionar representações e escolher domínio adequado.

2. Definição: uma entrada, uma saída

Uma função f de D para um conjunto de chegada associa exatamente uma saída f(x) a cada x de D. Várias entradas podem compartilhar uma saída; uma mesma entrada não pode ter duas saídas diferentes.

3. Domínio, imagem e antecedente

O domínio contém as entradas permitidas. A imagem de x é f(x). Um antecedente de y é um x com f(x)=y. O contexto pode restringir o domínio.

4. Quatro representações

Palavras, fórmula, tabela e gráfico podem representar a mesma função. O gráfico é o conjunto de pontos (x,f(x)).

5. Exemplo resolvido

Para f(x)=2x+3, f(2)=7; resolver f(x)=7 dá x=2.

6. Prática

6.1. Avaliar uma função

Para f(x)=2x+3, calcule f(-2), f(0), f(4) e encontre a entrada cuja saída é 7. Faça uma tabela entrada-saída.

Correção guiada. f(-2)=-1, f(0)=3, f(4)=11 e a entrada para 7 é x=2.

6.2. Modelar uma tarifa

Uma viagem custa €4 fixos mais €1,80 por km. Defina C(d), um domínio realista, calcule C(0), C(2), C(5) e explique 1,80 e 4.

Critérios de sucesso. C(d)=4+1,8d com d≥0; C(0)=4, C(2)=7,6, C(5)=13. 1,80 é custo por km e 4 a taxa fixa.

6.3. Reconhecer uma função

Uma tabela associa -1→3, 0→1, 1→1 e 2→3. Decida se é função, dê a saída de 2 e as entradas com saída 1. Explique por que 0→1 e 0→4 juntos não formam função.

Critérios de sucesso. A justificativa usa uma única saída por entrada e distingue que várias entradas podem compartilhar a mesma saída.

7. Aprofundamento: o que uma função realmente codifica

7.1. Relação ou função?

Uma relação pode associar objetos sem ser uma função. A condição decisiva está nas entradas: cada entrada do domínio deve possuir exatamente uma saída. Assim, uma tabela na qual a mesma entrada recebe duas saídas diferentes não representa uma função. No gráfico y=f(x), a mesma ideia aparece no teste da reta vertical.

O inverso não é exigido: entradas diferentes podem compartilhar a mesma saída. Na função quadrado, (-2)² e 2² valem 4.

7.2. Domínio, contradomínio e imagem

O domínio reúne as entradas permitidas; o contradomínio declara onde as saídas pertencem; a imagem contém apenas os valores efetivamente atingidos. Para f(x)=x² de R em R, a imagem é [0,+∞). Essa distinção é importante para antecedentes e para estudar inversibilidade.

O contexto também pode limitar o domínio. Em g(x)=1/(x-2), x=2 é proibido pela expressão; em modelos de tempo, massa ou distância podem existir restrições adicionais.

7.3. Funções por partes e mudança de representação

Uma regra pode mudar em regiões diferentes do domínio e continuar sendo uma única função se cada entrada tiver uma única saída. Fórmula por partes, tabela e gráfico precisam mostrar a mesma mudança.

Converter uma descrição em fórmula, tabela e gráfico também verifica o modelo: cada representação destaca informações diferentes e todas devem ser compatíveis.

7.4. Leitura de gráficos e erros frequentes

Ler f(3)=5 significa partir de x=3, alcançar o gráfico e ler y=5. Procurar antecedentes de 5 inverte a pergunta e pode produzir zero, uma ou várias respostas.

Erros frequentes: ler f(x) como produto, confundir contradomínio e imagem, esquecer restrições de domínio, pensar que vários antecedentes violam a definição ou inferir uma fórmula única a partir de poucos pontos.

7.5. Usar o domínio para validar um modelo

Antes de calcular, vale perguntar se a entrada faz sentido. Em C(d)=4+1,8d, um valor d=-3 pode ser aceito pela expressão algébrica, mas não representa uma distância de corrida nesse modelo. Da mesma forma, uma função que relaciona número de objetos e custo costuma usar entradas inteiras não negativas, enquanto um modelo de temperatura pode aceitar valores reais negativos. Explicitar o domínio evita transformar uma fórmula correta em um modelo incoerente.

Também é útil testar casos de fronteira: entrada zero, maior valor permitido, pontos onde uma fórmula por partes muda e valores excluídos por uma divisão ou raiz. Esses testes verificam se tabela, gráfico, fórmula e interpretação continuam contando a mesma história.

8. Resumo

Uma função associa exatamente uma saída a cada entrada do domínio.

9. Fontes curriculares

• Ministério da Educação da França — programa de matemática da seconde de 2026, seção Funções: boletim oficial.
• California Department of Education — F-IF.1 e F-IF.2: California Content Standards.

10. Nota

Preparada em 20 de setembro de 2026 com dois referenciais oficiais de países diferentes. Texto e traduções com IA; não se afirma ganho de aprendizagem medido.