A análise real
O que a análise estuda
A análise real estuda as funções de uma variável real por meio de uma única ferramenta: a passagem ao limite. Continuidade, derivada, integral, séries — tudo se reduz a isso.
Não é um conjunto de resultados independentes. É um edifício assentado sobre uma única propriedade, e desmorona inteiro se ela for retirada.
O alicerce único
Essa propriedade é a completude: todo subconjunto não vazio e limitado superiormente de R admite supremo.
Os grandes teoremas da análise não apenas se deduzem dela — são-lhe equivalentes. Admitir um deles equivale a admitir a completude, e reciprocamente.
| Teorema | Enunciado |
|---|---|
| Valor intermediário | Uma função contínua que muda de sinal se anula |
| Valores extremos | Uma função contínua num intervalo fechado atinge seu máximo |
| Bolzano-Weierstrass | Toda sequência limitada tem uma subsequência convergente |
| Critério de Cauchy | Toda sequência de Cauchy converge |
O edifício sobre ℚ
A melhor maneira de ver o que a completude traz é retirá-la. Situemo-nos em Q, onde ela falta, e tomemos:
f(x)=x2−2em[1,2]∩Q
Essa função é contínua, f(1)=−1<0 e f(2)=2>0. O teorema do valor intermediário exigiria que ela se anulasse. Ela não se anula: sua raiz é 2, que não é racional.
O mesmo buraco derruba os outros três. A sequência das aproximações decimais de 2 é de Cauchy em Q e não converge ali; é limitada e não admite ali nenhuma subsequência convergente.
Derivada e integral são limites
As duas operações centrais não passam de passagens ao limite disfarçadas:
f′(a)=h→0limhf(a+h)−f(a)
A integral de Riemann é igualmente o limite de somas de áreas de retângulos cuja largura tende a zero.
Nenhuma das duas faz sentido sem a garantia de que esses limites existem. Por isso o cálculo diferencial e integral não poderia ter-se fundado apenas sobre os racionais.
O que «rigoroso» acabou por significar
A análise funcionou longamente com intuições de continuidade e de infinitamente pequeno que davam resultados corretos sem que se soubesse por quê.
A formulação ε–δ e a construção explícita de R substituíram essas intuições por enunciados verificáveis. O ganho não está em achar resultados novos: está em poder dizer exatamente de que hipótese cada teorema depende.
Resumo
Retire a completude e a análise cessa: seus teoremas lhe são equivalentes, não apenas subordinados.