O valor do dinheiro no tempo

Definição

Receber 1 000 € hoje ou 1 000 € daqui a um ano: os dois montantes escrevem-se da mesma maneira e, no entanto, não são a mesma coisa. O de hoje pode ser aplicado e valerá mais daqui a um ano, desde que a aplicação renda. A operação inversa é possível — obter hoje uma quantia esperada para mais tarde é tomar emprestado — e seu preço tem a mesma origem: o rendimento a que o emprestador renuncia, abaixo do qual a taxa exigida não descerá.

O valor do dinheiro no tempo é o princípio segundo o qual um montante só tem significado econômico quando associado a uma data, e segundo o qual dois montantes com datas diferentes só se comparam depois de trazidos a uma data comum. Enquanto o emprego alternativo render um rendimento positivo, uma quantia disponível mais cedo vale mais do que uma quantia disponível mais tarde.

Somar ou subtrair diretamente dois montantes de datas diferentes é, portanto, um erro da mesma natureza que somar comprimentos expressos em unidades distintas.

A origem dessa diferença não está no tempo em si: está na existência de um emprego alternativo. Se nenhuma aplicação rendesse coisa alguma, as duas quantias se equivaleriam. É porque um capital disponível pode ser empregado — e porque esse emprego rende — que a espera custa. O valor do dinheiro no tempo é assim o custo de oportunidade aplicado ao calendário: o que a espera custa é o rendimento do melhor emprego ao qual ela faz renunciar.

Descontar, a operação inversa da capitalização

A capitalização transporta uma quantia para o futuro multiplicando-a por $(1+i)^n$(1+i)n. A questão aqui é simétrica: que quantia de hoje equivale a um montante $V_n$Vn​ disponível daqui a $n$n períodos? Aquela que, capitalizada, devolveria exatamente $V_n$Vn​. Basta, portanto, dividir em vez de multiplicar.

$V_0 = \frac{V_n}{(1+i)^n}$V0​=(1+i)nVn​​

Essa operação chama-se desconto, $V_0$V0​ é o valor presente do fluxo, e o número $1/(1+i)^n$1/(1+i)n é o fator de desconto — aquele pelo qual se multiplica o fluxo futuro. Enquanto $i$i for positivo, esse fator é inferior a 1 e decresce geometricamente com o vencimento.

Capitalização e desconto são, portanto, uma única e mesma relação, lida em dois sentidos. Toda propriedade de uma tem sua contrapartida na outra: enquanto a taxa permanecer positiva, o fator de desconto decresce tanto mais rápido quanto mais elevada for a taxa, e um fluxo muito distante tem um valor presente arbitrariamente pequeno.

A taxa de desconto é um custo de oportunidade

A taxa $i$i empregada para descontar não é uma propriedade da quantia descontada. É o rendimento do melhor emprego alternativo comparável ao qual o capital seria destinado se não estivesse imobilizado na operação examinada.

Três consequências decorrem daí, muitas vezes mal compreendidas.

• A taxa depende de quem calcula. Duas pessoas que dispõem de opções diferentes descontam legitimamente o mesmo fluxo a taxas diferentes e chegam a valores presentes diferentes. Não é uma incoerência: elas não renunciam à mesma coisa.
• Não existe taxa "verdadeira" legível no próprio fluxo. A taxa é uma escolha argumentada, cuja justificativa é a alternativa tomada como referência. Mudar a alternativa muda o resultado.
• O valor presente é muito sensível a essa escolha, tanto mais quanto mais longo for o horizonte, já que o fator $1+i$1+i está aí elevado à potência $n$n. Uma comparação honesta examina, portanto, como a conclusão se desloca quando a taxa varia.

Comparar uma série de fluxos: o valor presente líquido

A maioria das decisões não se refere a um montante único, mas a uma série de quantias escalonadas: uma saída inicial e, em seguida, entradas. Cada uma é trazida à data de referência, e os valores presentes — agora homogêneos — somam-se. Contando negativamente as saídas, a soma desses valores presentes é o valor presente líquido (VPL).

$\mathrm{VPL} = \sum_{t=0}^{n} \frac{F_t}{(1+i)^t}$VPL=t=0∑n​(1+i)tFt​​

onde $F_t$Ft​ é o fluxo líquido do período $t$t, contado negativamente se se tratar de uma saída. O fluxo da data 0 não é descontado, pois seu fator vale 1.

Seja uma saída de 1 000 € hoje contra três entradas de 400 € nos períodos 1, 2 e 3. A uma taxa de 5 %:

$\mathrm{VPL} = -1000 + \frac{400}{1{,}05} + \frac{400}{1{,}05^2} + \frac{400}{1{,}05^3} = -1000 + 380{,}95 + 362{,}81 + 345{,}54 = 89{,}30$VPL=−1000+1,05400​+1,052400​+1,053400​=−1000+380,95+362,81+345,54=89,30

O VPL é positivo: a operação rende 89,30 € a mais, em euros de hoje, do que a aplicação de referência a 5 %.

O mesmo cálculo a 15 % dá $-1000 + 347{,}826 + 302{,}457 + 263{,}006 \approx -86{,}71$−1000+347,826+302,457+263,006≈−86,71. O VPL é negativo, e os mesmos fluxos tornam-se desvantajosos. Nada mudou, exceto a alternativa com a qual eles são comparados: o VPL não mede uma qualidade intrínseca, mas uma diferença em relação a uma referência.

É justamente essa diferença, e não um saldo bruto, que decide. Note-se, com efeito, que o total não descontado das entradas, 1 200 €, supera a saída de 1 000 € nos dois casos: essa comparação não decide nada, pois soma montantes de datas diferentes.

A regra de leitura decorre desse raciocínio em diferença: $\mathrm{VPL} > 0$VPL>0, a operação é preferível à alternativa de referência; $\mathrm{VPL} = 0$VPL=0, as duas se equivalem; $\mathrm{VPL} < 0$VPL<0, a alternativa é preferível.

A taxa interna de retorno

Como o VPL depende da taxa, pode-se inverter a pergunta e procurar a taxa que o anula. Essa taxa é a taxa interna de retorno (TIR): o valor de $i$i para o qual a operação e sua alternativa de referência se equivalem exatamente.

No exemplo anterior, a TIR vale cerca de 9,70 %, valor obtido por resolução numérica: a equação é polinomial de grau $n$n, sem fórmula geral por radicais além do grau 4, e impraticável à mão bem antes disso. Quando um único fluxo futuro se opõe a um montante inicial, a TIR calcula-se, ao contrário, diretamente: $i = (V_n/V_0)^{1/n} - 1$i=(Vn​/V0​)1/n−1. Sua leitura é direta: a operação é preferível a toda alternativa que renda menos de 9,70 % e desvantajosa diante de toda alternativa que renda mais. É o ponto de virada observado entre os dois cálculos a 5 % e a 15 %.

Dois limites devem ser conhecidos. Anular o VPL equivale a resolver $\sum_t F_t\,x^t = 0$∑t​Ft​xt=0, onde $x = 1/(1+i)$x=1/(1+i); apenas as raízes $x > 0$x>0 — ou seja, $i > -1$i>−1 — têm sentido, e a TIR delas se deduz por $i = 1/x - 1$i=1/x−1. Enquanto os fluxos mudarem de sinal uma só vez — uma saída, depois entradas — tal raiz existe e é única, podendo aliás a TIR ser negativa se as entradas totalizarem menos que a saída. Quando mudam de sinal várias vezes, a equação pode admitir várias raízes admissíveis, ou nenhuma, e a TIR deixa então de estar definida de modo unívoco. Além disso, sendo uma taxa, ela nada diz sobre o tamanho da operação: uma TIR elevada sobre uma quantia pequena pode criar menos valor do que uma TIR modesta sobre uma quantia grande. Para classificar operações concorrentes, o VPL, que se exprime em montante, continua sendo a grandeza pertinente.

O caso dos fluxos incertos

As fórmulas anteriores supõem fluxos conhecidos em montante e em data. Assim que o montante futuro é incerto, dois ajustes distintos são possíveis: ponderar os fluxos por sua probabilidade e elevar a taxa de desconto com um prêmio de risco acima do rendimento de um emprego tido como seguro. Esses dois ajustes são correntemente praticados — é sua justificativa, e não sua existência, que permanece discutida.

Eles não são da mesma natureza. O primeiro não passa do cálculo de uma esperança: está bem definido assim que as probabilidades o estiverem. Mas decidir apenas pela esperança já supõe a indiferença ao risco — hipótese que o segundo ajuste rejeita precisamente, sem por isso decorrer do princípio: o princípio diz que é preciso trazer os fluxos a uma data comum, não diz em quanto majorar a taxa. A amplitude do prêmio apropriado, e mesmo a legitimidade de fazer uma taxa única carregar duas coisas tão diferentes quanto o transcurso do tempo e a exposição ao risco, permanecem discutidas. Tomar-se-á, portanto, o desconto de um fluxo incerto como uma prática de convenção, cujo resultado não tem o mesmo estatuto que o cálculo sobre fluxos certos.

O que o princípio supõe

• Uma mesma unidade. Os fluxos devem ser expressos na mesma moeda e tratados de modo homogêneo quanto à inflação: fluxos em unidades correntes descontam-se a uma taxa nominal, aquela que não é corrigida da inflação, e fluxos expressos em poder de compra constante, a uma taxa real, aquela que se obtém por $(1+i)/(1+\pi) - 1$(1+i)/(1+π)−1 — onde $i$i designa aqui a taxa nominal e $\pi$π a taxa de inflação do período — e não por simples subtração. Misturar os dois é o erro mais frequente do cálculo de desconto. (A palavra nominal opõe-se aqui a real; como assinalado no princípio anterior, ela se opõe em outro lugar a efetiva e supõe então uma dada frequência de capitalização.)
• Uma taxa adaptada a cada vencimento. Nada obriga a taxa a ser única em todo o horizonte. Se ela difere conforme o período, o fator torna-se um produto de fatores sucessivos, e a escrita em potência é apenas o caso particular a taxa constante.
• Datas explícitas. O desconto exige conhecer a data de cada fluxo, e não apenas seu montante: $n$n é um parâmetro do cálculo tanto quanto $i$i.
• Uma alternativa realmente disponível. O VPL compara com um emprego suposto acessível para os mesmos montantes e nas mesmas datas. Se a alternativa é limitada ou indisponível, a taxa adotada já não mede aquilo a que efetivamente se renuncia.

Uma observação, por fim. Se $i$i estiver compreendido entre $-1$−1 e 0, o fator de desconto ultrapassa 1, e uma quantia futura vale mais do que a mesma quantia hoje. O princípio não afirma, portanto, que o dinheiro perde valor com o tempo — afirma que um montante sem data é incompleto, e que o sentido da diferença é fixado pelo sinal da taxa.

Resumo

Um montante só tem sentido acompanhado de sua data: para comparar quantias escalonadas no tempo, é preciso trazê-las a uma data comum dividindo-as por $(1+i)^n$(1+i)n, à taxa do melhor emprego alternativo.