1. Objetivos e pré-requisitos

Pré-requisito: avaliar uma função e ler dois pontos de seu gráfico. Você aprenderá a calcular uma taxa de variação, interpretá-la como inclinação de uma secante, manter as unidades e comparar intervalos.

2. Definição: mudança de saída por mudança de entrada

Para duas entradas distintas a e b, a taxa de variação de f entre a e b é (f(b)-f(a))/(b-a). O numerador Δy=f(b)-f(a) mede a mudança de saída; o denominador Δx=b-a mede a mudança de entrada. É necessário b≠a.

3. Sentido geométrico: inclinação da secante

Os pontos A=(a,f(a)) e B=(b,f(b)) pertencem ao gráfico. A reta que passa por A e B é uma secante. Sua inclinação é exatamente Δy/Δx. Taxa positiva dá secante crescente, negativa dá secante decrescente e taxa zero dá secante horizontal.

4. Unidades e representações

A unidade é a unidade da saída dividida pela unidade da entrada: km/h, °C/h, €/unidade etc. A taxa pode ser calculada por fórmula ou tabela e estimada em um gráfico pela leitura de dois pontos. Leituras gráficas podem incluir arredondamentos.

5. Exemplo resolvido

Para f(x)=x² de 1 a 3, f(1)=1 e f(3)=9. Logo Δy=8, Δx=2 e a taxa de variação é 8/2=4. A secante pelos pontos (1,1) e (3,9) tem inclinação 4.

6. Prática

6.1. Calcular com a função quadrado

Para f(x)=x², calcule a taxa de variação entre x=1 e x=4. Mostre f(1), f(4), Δx, Δy e depois o quociente Δy/Δx.

Correção guiada. f(1)=1 e f(4)=16; Δy=15 e Δx=3; a taxa é 5.

6.2. Comparar uma mudança de temperatura

A temperatura é 12 °C às 8 h, 18 °C às 11 h e 20 °C às 15 h. Calcule a taxa média de variação em 8–11 h e 11–15 h, em °C/h. Compare os intervalos e explique por que as médias não provam mudança a uma taxa constante.

Critérios de sucesso. Os dois quocientes usam os intervalos de tempo corretos, as unidades são explícitas e a conclusão distingue média no intervalo de mudança instantânea.

6.3. Comparar dois intervalos sem copiar uma fórmula

Para g(x)=x²+1, calcule a taxa de variação em [-1,2] e em [2,3]. Compare os resultados e use as duas secantes para explicar o que a diferença indica sobre a variação de g.

Critérios de sucesso. A justificativa reconstrói os dois quocientes a partir dos valores de g, compara corretamente as inclinações médias e não as chama de derivadas.

7. Aprofundamento: o intervalo muda a interpretação

7.1. Uma função, várias taxas

A taxa depende dos dois extremos escolhidos. Para f(x)=x², em [0,1] ela vale 1 e em [1,2] vale 3. Em [-1,1] vale 0 mesmo sem a função ser constante no interior. A taxa média resume a mudança entre extremos, não cada instante do intervalo.

Comparar intervalos pode revelar aceleração, desaceleração ou mudança de direção sem ainda usar derivadas.

7.2. Taxa absoluta, porcentagem e unidades

Δy/Δx não é automaticamente uma porcentagem. Um aumento de 20 € em 4 dias é 5 €/dia. A porcentagem compara a mudança com um valor de referência e responde a outra pergunta.

As unidades fazem parte do resultado e diferenciam 5 km/h, 5 °C/h e 5 €/unidade. Mudar a unidade de entrada altera o número: 60 km/h equivale a 1 km/min.

7.3. Fórmula, tabela e gráfico têm precisões diferentes

Com valores exatos, a fórmula pode produzir um quociente exato. Tabelas herdam a precisão das medições. Em gráficos, coordenadas costumam ser estimadas, então a inclinação também é uma estimativa.

Ao comparar taxas, mantenha intervalos e sinais coerentes. Inverter os dois extremos muda simultaneamente os sinais de Δx e Δy e preserva o quociente.

7.4. Erros e confusões frequentes

Erros frequentes: esquecer a divisão pela mudança de entrada, aceitar b-a=0, omitir unidades, confundir taxa média com mudança total ou porcentagem, usar uma tangente quando existem dois pontos ou concluir que taxa média zero significa ausência de mudança interna.

A taxa mede a mudança média da saída por unidade de entrada entre dois extremos. A derivada tratará depois da questão local.

8. Síntese

Uma taxa de variação é um quociente de mudanças: Δy/Δx. Ela descreve a mudança média entre duas entradas distintas, é a inclinação da secante correspondente e preserva unidades interpretáveis.

9. Fontes curriculares

• Ministério da Educação da França — programa de especialidade de matemática da première générale 2026, anexo p. 360, “Dérivation”: boletim oficial.
• California Department of Education — F-IF.6, cálculo e interpretação da taxa média de variação: California Content Standards.

10. Nota de revisão

Curso preparado em 25 de setembro de 2026 a partir de duas referências oficiais de países diferentes. Os exemplos numéricos foram recalculados; texto e traduções foram preparados com IA. Não se afirma ganho de aprendizagem medido.