A lei dos rendimentos decrescentes

Definição FATO

Uma parcela de um hectare recebe o primeiro trabalhador, depois o segundo, depois o décimo. Os primeiros acréscimos fazem muito: o trabalho é dividido, as tarefas se tornam especializadas e a colheita avança rapidamente. Depois de certo número, cada trabalhador adicional acrescenta menos que o anterior. Não é que ele trabalhe mal: é que divide a mesma parcela com um número cada vez maior de pessoas.

A lei dos rendimentos decrescentes é a hipótese padrão segundo a qual, mantendo-se a tecnologia inalterada e os demais fatores de produção fixos, a produção adicional obtida ao acrescentar uma unidade do fator variável acaba diminuindo à medida que esse fator aumenta. Ela descreve muitas tecnologias no curto prazo, mas não é um teorema universal.

Quatro esclarecimentos estão contidos nesse enunciado, e cada um deles é frequentemente esquecido.

• A lei trata da produção adicional — o produto marginal —, não da produção total. Esta continua crescendo enquanto o produto marginal permanece positivo, mesmo quando ele diminui.
• Ela diz “acaba”. Nada impede que o produto marginal cresça primeiro; a hipótese afirma que, depois de certo limiar, o produto marginal diminui quando o fator aumenta.
• Ela exige que os demais fatores permaneçam fixos. Sem esse controle, já não se mede o produto marginal do fator estudado; variar todos os fatores em conjunto diz respeito a outra questão, a dos rendimentos de escala.
• Ela pressupõe a tecnologia inalterada. Descreve o comportamento de uma função de produção dada e nunca compara duas técnicas diferentes.

Como ler uma tabela de produção FATO

Considere uma parcela de um hectare — o fator fixo — à qual se acrescentam trabalhadores idênticos, o único fator variável. O produto total $Q$Q é a colheita em quintais; o produto marginal $\mathrm{Pm}$Pm é a diferença na colheita atribuível ao último trabalhador; o produto médio $\mathrm{PM} = Q/L$PM=Q/L é a colheita dividida pelo número de trabalhadores.

Três fases podem ser lidas nessa coluna do produto marginal, e é importante não confundi-las.

• Até o terceiro trabalhador, o produto marginal cresce (10, depois 14, depois 15). A fase de rendimentos marginais decrescentes ainda não começou nessa tabela.
• Do quarto ao sétimo, ele diminui (13, 10, 7, 4), mas permanece positivo: são os rendimentos decrescentes propriamente ditos. Note que a colheita total continua aumentando — de 39 para 73 quintais. A queda do produto marginal não significa queda da produção.
• No oitavo, o produto marginal torna-se negativo: a colheita total recua de 73 para 72. Essa fase é distinta da anterior; a lei não a afirma. Ela diz que o produto marginal diminui, não que caia abaixo de zero.

O máximo do produto total, aqui 73 quintais, é alcançado com o último trabalhador cujo produto marginal permanece positivo — o sétimo, cuja contribuição ainda é de 4 quintais. De fato, o total só pode recuar assim que se acrescenta a ele uma quantidade negativa.

Produto marginal e produto médio FATO

A tabela mostra uma regularidade que nada tem de especificamente econômico: ela vale para qualquer média.

Enquanto o produto marginal supera o produto médio, ele puxa a média para cima. Assim que fica abaixo, puxa-a para baixo. Portanto, o produto médio deixa de avançar no ponto em que o produto marginal o alcança e depois o atravessa: aqui, o valor máximo 13,0 é atingido com o terceiro e o quarto trabalhadores, e é no quarto que $\mathrm{Pm} = \mathrm{PM} = 13$Pm=PM=13.

É a propriedade familiar de qualquer média: uma nota acima da média eleva essa média, uma nota abaixo a reduz e uma nota igual a deixa no mesmo lugar. Nada além disso é invocado aqui.

Duas ressalvas acompanham essa leitura. A coincidência exata entre o cruzamento e o máximo é um resultado do cálculo diferencial — a derivada de $Q/L$Q/L se anula precisamente quando $\mathrm{Pm} = \mathrm{PM}$Pm=PM — e só vale aproximadamente em uma tabela de números inteiros, na qual o máximo pode se estender por um platô, como ocorre aqui. Além disso, a igualdade das duas grandezas no primeiro trabalhador ($\mathrm{Pm} = \mathrm{PM} = 10$Pm=PM=10) é uma identidade sem significado: com apenas um trabalhador, o produto médio é o produto marginal.

Essa distinção tem uma consequência prática. O produto médio pode permanecer constante enquanto a lei dos rendimentos decrescentes já se aplica: entre o terceiro e o quarto trabalhadores, o produto marginal caiu de 15 para 13, enquanto o produto médio se manteve em 13,0. Observar uma produtividade média estável não prova, portanto, que os rendimentos não estejam diminuindo.

Do produto marginal ao custo marginal FATO

É aqui que a lei se liga à formação dos preços. Suponha que o trabalho seja o único fator variável, pago pelo mesmo salário $w$w qualquer que seja o número de trabalhadores contratados — o empregador toma o salário de mercado como dado, sem influenciá-lo —, e trate o trabalho como divisível, aproximação que permite a escrita contínua onde a tabela conta apenas trabalhadores inteiros.

Obter uma unidade adicional de produção exige então $1/\mathrm{Pm}$1/Pm de um trabalhador adicional; portanto, ela custa

$\mathrm{Cm} = \frac{w}{\mathrm{Pm}}$Cm=Pmw​

onde $\mathrm{Cm}$Cm é o custo marginal, isto é, o custo de uma unidade adicional nas proximidades do ponto considerado. Sob essas hipóteses e enquanto $\mathrm{Pm}>0$Pm>0, o custo marginal varia na razão inversa do produto marginal, a menos do fator $w$w: quando um diminui, o outro aumenta.

Com um salário de 100 € por trabalhador:

Nesse exemplo, o custo marginal descreve uma curva em U porque o produto marginal primeiro aumenta, atinge um máximo e depois diminui. A lei explica a elevação do custo marginal quando o produto marginal positivo diminui; ela não impõe uma fase descendente anterior. A partir do quarto trabalhador nessa tabela, produzir mais custa cada vez mais por unidade, sem aumento do salário: o encarecimento decorre da queda do produto marginal.

Daí vem a ligação com a curva de oferta. Um produtor que toma o preço de mercado como dado só aceita fornecer uma unidade a mais se esse preço cobrir o que ela lhe custa; como esse custo aumenta com a quantidade na fase de rendimentos decrescentes, é necessário um preço mais alto para obter uma quantidade maior. Nesse modelo de curto prazo, a queda do produto marginal eleva o custo marginal e, portanto, faz subir a parte relevante da curva de oferta de uma firma tomadora de preços.

Três ressalvas delimitam essa conclusão. O raciocínio pressupõe um produtor tomador de preços. Em concorrência imperfeita — especialmente no caso de um monopólio —, em geral não existe uma curva de oferta independente da demanda, pois preço e quantidade são escolhidos em conjunto. Para uma firma perfeitamente competitiva, somente a parte do custo marginal situada acima do mínimo do custo variável médio constitui sua curva de oferta de curto prazo. No nível do mercado, a inclinação da oferta também depende das diferenças de custos entre produtores, que esse raciocínio ignora.

Não confundir com os rendimentos de escala FATO

A objeção surge naturalmente: suponha que uma fábrica duplique suas máquinas e seus trabalhadores e que sua produção também duplique. A lei estaria errada? Não — a pergunta feita não é a mesma.

As duas noções, portanto, não são equivalentes e podem coexistir sem dificuldade em uma mesma tecnologia. Considere a função de produção $Q = L^{1/2}K^{1/2}$Q=L1/2K1/2, em que $K$K representa o capital. Multiplicar os dois fatores por $t$t resulta em

$(tL)^{1/2}(tK)^{1/2} = t\,L^{1/2}K^{1/2} = tQ$(tL)1/2(tK)1/2=tL1/2K1/2=tQ

ou seja, rendimentos de escala exatamente constantes: duplicar tudo duplica a produção. No entanto, com o capital $\bar K$Kˉ fixo, o produto marginal do trabalho $\partial Q/\partial L = \tfrac{1}{2}L^{-1/2}\bar K^{1/2}$∂Q/∂L=21​L−1/2Kˉ1/2 diminui estritamente com $L$L, e isso desde a primeira unidade.

O que o exemplo demonstra é preciso e basta para refutar a objeção: rendimentos constantes de escala não impedem de modo algum um produto marginal decrescente quando um fator é mantido fixo. Ele não prova que todas as tecnologias com rendimentos constantes de escala tenham essa propriedade; por exemplo, $Q=L+K$Q=L+K também apresenta rendimentos constantes de escala, mas um produto marginal do trabalho igual a 1.

Em uma formulação diferenciável, a hipótese afirma que existe um limiar $L^{*}$L∗ a partir do qual $\partial^{2} Q/\partial L^{2} < 0$∂2Q/∂L2<0, mantendo-se fixa a quantidade dos demais fatores. Em uma tabela de números inteiros, isso corresponde a diferenças marginais que diminuem além do limiar. É uma propriedade da função de produção com fatores fixos, não de seu comportamento quando todos os fatores mudam em conjunto.

O estatuto da lei FATO

Apesar do nome, a lei não é um teorema deduzido de axiomas: é uma hipótese de produção de curto prazo cuja validade depende da tecnologia estudada. Uma produção limitada apenas impede que o produto marginal permaneça indefinidamente acima de um limiar positivo; ela não basta para demonstrar uma diminuição monotônica depois de certo ponto.

O limiar $L^{*}$L∗, portanto, não pode ser deduzido de um princípio geral: ele é medido ou estimado para uma tecnologia e um domínio de operação específicos. Na tabela construída aqui, a diminuição começa no quarto trabalhador; outra organização, outra dotação de capital fixo ou uma inovação poderiam modificar, preservar ou eliminar esse limiar no domínio observado.

O que a lei pressupõe — e o que ela não diz FATO

• Os demais fatores permanecem fixos durante a variação marginal. Essa é a condição necessária para atribuir ao fator estudado a variação de produção medida. Mais geralmente, o curto prazo é definido como o horizonte no qual pelo menos um fator não pode ser ajustado; o experimento marginal descrito aqui, contudo, mantém constantes todos os fatores diferentes daquele que se faz variar.
• A tecnologia não muda. Uma inovação modifica a função de produção à qual a hipótese se aplica. Assim, uma colheita que avança de uma geração para outra não basta para refutar a lei, pois as duas observações podem não se referir à mesma função.
• As unidades do fator variável são homogêneas. Se os trabalhadores acrescentados forem cada vez menos qualificados, essa heterogeneidade poderá fazer variar o produto marginal e confundir a medição. A observação por si só deixa então de isolar o efeito dos fatores fixos. A lei pressupõe unidades intercambiáveis para que, no modelo, a variação possa ser atribuída à combinação produtiva, e não a uma mudança na qualidade do fator variável.
• Os fatores são empregados de modo eficiente. A tabela compara pontos nos quais se obtém de cada combinação o máximo possível. Uma diminuição causada por má organização não se enquadra na lei.

Por fim, ela nada diz sobre o nível desejável. Saber até onde aumentar o fator variável exige comparar o que rende a unidade adicional com o que ela custa — portanto, exige preços, ausentes do enunciado. Os rendimentos decrescentes descrevem uma tecnologia; não prescrevem quantidade alguma.

Resumo

Com a tecnologia inalterada, aumentar um fator enquanto os demais permanecem fixos costuma acabar reduzindo seu produto marginal; se ele for o único fator variável, for remunerado a preço constante e seu produto marginal permanecer positivo, essa queda eleva o custo marginal.

Referências principais FATO

• OpenStax — Production in the Short Run
• OpenStax — Costs in the Long Run
• OpenStax — Marginal Cost and the Firm's Supply Curve
• MIT OpenCourseWare — Production and Cost