A probabilidade
Definição FATO
Uma probabilidade é um número associado a um evento, compreendido entre 0 e 1, que mede a parte que ele ocupa entre todos os resultados possíveis.
O conjunto desses resultados forma o espaço amostral, denotado Ω. Um evento é uma parte dele: «o dado dá um número par» é o subconjunto {2,4,6}.
Os três axiomas FATO
Todo o cálculo de probabilidades repousa sobre três enunciados, e sobre nada mais:
| Axioma | Enunciado | O que impõe |
|---|---|---|
| Não negatividade | P(A)≥0 | Uma probabilidade nunca é negativa |
| Massa total | P(Ω)=1 | Algo ocorre necessariamente |
| Aditividade | P(A∪B)=P(A)+P(B) se A∩B=∅ | Eventos incompatíveis se somam |
O terceiro estende-se às reuniões enumeráveis, o que basta para tratar espaços infinitos.
O que daí se deduz FATO
Essas três regras não são um ponto de partida arbitrário: elas engendram as identidades usuais.
P(Aˉ)=1−P(A)P(∅)=0P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
A última corrige a dupla contagem: somar P(A) e P(B) conta duas vezes o que pertence a ambos, logo é preciso subtraí-lo uma vez. A aditividade sozinha só se aplica a eventos disjuntos.
Condicionar, e a independência FATO
Saber que B ocorreu muda a parte ocupada por A. Restringe-se então o espaço a B:
P(A∣B)=P(B)P(A∩B),P(B)>0
Dois eventos são independentes quando essa restrição nada muda: P(A∣B)=P(A), o que equivale a P(A∩B)=P(A)P(B).
A independência é uma propriedade numérica, não uma intuição. Dois eventos podem não ter vínculo causal e ainda assim serem dependentes, e o inverso também ocorre.
O que os axiomas não dizem FATO
O formalismo fixa as regras de cálculo e cala sobre o seu sentido. Duas leituras coexistem: a frequentista, em que uma probabilidade é o limite de uma frequência ao longo de repetições; a bayesiana, em que ela mede um grau de crença revisável.
Ambas obedecem aos mesmos três axiomas e produzem os mesmos números. O desacordo recai sobre a interpretação, não sobre o cálculo.
Resumo
Três axiomas fundam todo o cálculo de probabilidades, e nenhum diz o que uma probabilidade significa.