A probabilidade

Definição

Uma probabilidade é um número associado a um evento, compreendido entre 0 e 1, que mede a parte que ele ocupa entre todos os resultados possíveis.

O conjunto desses resultados forma o espaço amostral, denotado $\Omega$Ω. Um evento é uma parte dele: «o dado dá um número par» é o subconjunto $\{2, 4, 6\}${2,4,6}.

Os três axiomas

Todo o cálculo de probabilidades repousa sobre três enunciados, e sobre nada mais:

O terceiro estende-se às reuniões enumeráveis, o que basta para tratar espaços infinitos.

O que daí se deduz

Essas três regras não são um ponto de partida arbitrário: elas engendram as identidades usuais.

$P(\bar{A}) = 1 - P(A) \qquad P(\emptyset) = 0 \qquad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$P(Aˉ)=1−P(A)P(∅)=0P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)

A última corrige a dupla contagem: somar $P(A)$P(A) e $P(B)$P(B) conta duas vezes o que pertence a ambos, logo é preciso subtraí-lo uma vez. A aditividade sozinha só se aplica a eventos disjuntos.

Condicionar, e a independência

Saber que $B$B ocorreu muda a parte ocupada por $A$A. Restringe-se então o espaço a $B$B:

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0$P(A∣B)=P(B)P(A∩B)​,P(B)>0

Dois eventos são independentes quando essa restrição nada muda: $P(A \mid B) = P(A)$P(A∣B)=P(A), o que equivale a $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$P(A∩B)=P(A)P(B).

A independência é uma propriedade numérica, não uma intuição. Dois eventos podem não ter vínculo causal e ainda assim serem dependentes, e o inverso também ocorre.

O que os axiomas não dizem

O formalismo fixa as regras de cálculo e cala sobre o seu sentido. Duas leituras coexistem: a frequentista, em que uma probabilidade é o limite de uma frequência ao longo de repetições; a bayesiana, em que ela mede um grau de crença revisável.

Ambas obedecem aos mesmos três axiomas e produzem os mesmos números. O desacordo recai sobre a interpretação, não sobre o cálculo.

Resumo

Três axiomas fundam todo o cálculo de probabilidades, e nenhum diz o que uma probabilidade significa.