O número real
Definição
Um número real é um ponto da reta contínua. Inteiros, frações, raízes e π ocupam ali um lugar, sem que nenhuma posição fique vazia.
É essa ausência de buracos que define o conjunto R, muito mais do que a lista de números que ele contém.
O que cada ampliação traz
| Conjunto | Contém | Torna possível |
|---|---|---|
| N | 0, 1, 2, … | Contar |
| Z | … , −1, 0, 1, … | Subtrair sem sair |
| Q | As frações p/q | Dividir sem sair |
| R | Os pontos da reta | Passar ao limite sem sair |
Cada andar repara uma falta do anterior. O último é de outra natureza: já não se trata de uma operação que falha, mas de uma sequência que não tem onde chegar.
O buraco dos racionais
Nenhuma fração tem 2 como quadrado. Suponhamos p/q irredutível com (p/q)2=2: então p2=2q2, logo p é par, logo p=2m, logo 4m2=2q2, logo q também é par. Ambos são pares, contra a hipótese de irredutibilidade.
E no entanto 2 existe: é a diagonal do quadrado de lado 1. Os racionais deixam portanto um buraco num lugar perfeitamente construtível.
A completude
A propriedade que distingue R cabe numa frase: todo conjunto não vazio e limitado superiormente admite supremo.
Tomemos o conjunto dos racionais cujo quadrado é menor que 2. Não é vazio, é limitado superiormente — mas dentro de Q não tem menor cota superior: sempre se pode achar outra mais justa. Em R essa menor cota existe, e é 2.
Essa propriedade caracteriza R: a menos de isomorfismo, é o único corpo totalmente ordenado completo.
Um infinito maior
Os racionais podem ser numerados: cabe arranjá-los numa lista indexada pelos inteiros. Os reais, não — nenhuma lista os esgota.
O infinito dos reais é portanto estritamente mais vasto que o dos racionais, ainda que estes sejam densos em toda parte entre aqueles: entre dois reais distintos, por mais próximos que estejam, sempre se insinua um racional.
Resumo
O real é o racional completado: a passagem ao limite sempre chega a algum lugar.