O número real

Definição FATO

Um número real é um ponto da reta contínua. Inteiros, frações, raízes e $\pi$π ocupam ali um lugar, sem que nenhuma posição fique vazia.

É essa ausência de buracos que define o conjunto $\mathbb{R}$R, muito mais do que a lista de números que ele contém.

O que cada ampliação traz FATO

Cada andar repara uma falta do anterior. O último é de outra natureza: já não se trata de uma operação que falha, mas de uma sequência que não tem onde chegar.

O buraco dos racionais FATO

Nenhuma fração tem 2 como quadrado. Suponhamos $p/q$p/q irredutível com $(p/q)^2 = 2$(p/q)2=2: então $p^2 = 2q^2$p2=2q2, logo $p$p é par, logo $p = 2m$p=2m, logo $4m^2 = 2q^2$4m2=2q2, logo $q$q também é par. Ambos são pares, contra a hipótese de irredutibilidade.

E no entanto $\sqrt{2}$2​ existe: é a diagonal do quadrado de lado 1. Os racionais deixam portanto um buraco num lugar perfeitamente construtível.

A completude FATO

A propriedade que distingue $\mathbb{R}$R cabe numa frase: todo conjunto não vazio e limitado superiormente admite supremo.

Tomemos o conjunto dos racionais cujo quadrado é menor que 2. Não é vazio, é limitado superiormente — mas dentro de $\mathbb{Q}$Q não tem menor cota superior: sempre se pode achar outra mais justa. Em $\mathbb{R}$R essa menor cota existe, e é $\sqrt{2}$2​.

Essa propriedade caracteriza $\mathbb{R}$R: a menos de isomorfismo, é o único corpo totalmente ordenado completo.

Um infinito maior FATO

Os racionais podem ser numerados: cabe arranjá-los numa lista indexada pelos inteiros. Os reais, não — nenhuma lista os esgota.

O infinito dos reais é portanto estritamente mais vasto que o dos racionais, ainda que estes sejam densos em toda parte entre aqueles: entre dois reais distintos, por mais próximos que estejam, sempre se insinua um racional.

Resumo

O real é o racional completado: a passagem ao limite sempre chega a algum lugar.