O limite

Definição

Uma função $f$f tende para $L$L quando $x$x tende para $a$a se for possível tornar $f(x)$f(x) tão próximo de $L$L quanto se queira, tomando $x$x suficientemente próximo de $a$a.

O ponto $a$a fica excluído. Nisso reside todo o alcance da noção: o limite descreve uma vizinhança, não um valor.

O que a definição deve proibir

«Tão próximo quanto se queira» não é uma frase matemática enquanto não se disser quem escolhe, e em que ordem. A formulação dita $\varepsilon$ε–$\delta$δ fixa as duas coisas:

$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \implies |f(x) - L| < \varepsilon$∀ε>0, ∃δ>0:0<∣x−a∣<δ⟹∣f(x)−L∣<ε

O adversário impõe primeiro uma margem $\varepsilon$ε na chegada; cabe então produzir uma margem $\delta$δ na partida que a garanta. A ordem dos quantificadores é o enunciado: $\delta$δ depende de $\varepsilon$ε, nunca o contrário.

O caso que justifica tudo

Consideremos $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$f(x)=x−1x2−1​.

Em $x = 1$x=1 a expressão não tem sentido: o denominador se anula. Contudo, para todo $x \neq 1$x=1 ela se simplifica:

$\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x - 1} = x + 1$x−1x2−1​=x−1(x−1)(x+1)​=x+1

A função vale portanto $x + 1$x+1 em toda parte salvo em 1, onde não está definida. Seu limite em 1 é 2 — um valor que a função nunca atinge.

Três comportamentos

Os dois últimos não têm limite. Divergir e oscilar são duas formas distintas de falhar: a primeira tem uma direção, a segunda não tem nenhuma.

A continuidade decorre disso

Uma função é contínua em $a$a quando três condições valem juntas: $f(a)$f(a) existe, o limite em $a$a existe, e os dois coincidem.

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$x→alim​f(x)=f(a)

A função da seção anterior falha na primeira: seu limite existe, seu valor não. Pode-se torná-la contínua pondo $f(1) = 2$f(1)=2 — o que se chama prolongamento por continuidade.

Resumo

O limite diz para que uma função tende, independentemente do que ela vale no ponto.