Os juros compostos

Definição FATO

Cem euros emprestados à taxa de 5 % ao ano rendem 5 € no primeiro ano. Resta decidir o destino desses 5 €. Se forem retirados, o capital emprestado permanece 100 € e o segundo ano renderá novamente 5 €. Se forem deixados no lugar, o capital passa a 105 € e o segundo ano rende 5,25 € — pois os juros do primeiro ano agora também rendem juros.

Os juros compostos são os juros calculados sobre um capital ao qual os juros dos períodos anteriores foram somados. Essa adição tem um nome: a capitalização.

O mecanismo está, portanto, inteiramente contido numa regra de gestão dos juros acumulados: pagá-los ao beneficiário ou incorporá-los ao capital. Nada mais distingue os dois modos de cálculo.

Juros simples e juros compostos FATO

Denotemos por $C$C o capital inicial, por $i$i a taxa por período expressa em fração (5 % escreve-se $0{,}05$0,05) e por $n$n o número de períodos.

A juros simples, cada período rende o mesmo montante $Ci$Ci, sempre calculado sobre o capital inicial:

$V_n = C\,(1 + n\,i)$Vn​=C(1+ni)

A juros compostos, cada período multiplica a quantia acumulada pelo mesmo fator $1+i$1+i — a razão da progressão:

$V_n = C\,(1 + i)^n$Vn​=C(1+i)n

Os dois modos coincidem em um período, já que nenhum juro pôde ainda ser capitalizado. É a duração que os separa, e a diferença não é trivial. Para 100 € a 5 % ao ano:

Assim que a taxa é positiva, a razão entre as duas colunas cresce sem limite com $n$n: o numerador $(1+i)^n$(1+i)n cresce geometricamente, de razão $1+i > 1$1+i>1, ao passo que o denominador $1+ni$1+ni cresce apenas de forma afim. Nenhuma duração limita, portanto, a vantagem da capitalização — ela continua a se ampliar enquanto o capital permanecer no lugar.

Por que a progressão é geométrica FATO

O valor ao fim de um período obtém-se sempre da mesma maneira a partir do valor do período anterior:

$V_{k+1} = V_k + i\,V_k = V_k\,(1+i)$Vk+1​=Vk​+iVk​=Vk​(1+i)

Os juros produzidos a cada período são proporcionais à quantia presente, e essa quantia aumenta: o montante ganho cresce, portanto, com ela, ao passo que permanecia fixo a juros simples. Como o fator $1+i$1+i não depende nem de $k$k nem de $V_k$Vk​, aplicar a relação $n$n vezes seguidas dá $V_n = C(1+i)^n$Vn​=C(1+i)n — um raciocínio por indução, cujo passo indutivo é essa igualdade e cujo caso base é $V_0 = C$V0​=C.

Essa propriedade — um acréscimo proporcional à quantidade já presente — é a propriedade característica do crescimento exponencial, desde que o coeficiente de proporcionalidade permaneça o mesmo a cada período. Em tempo discreto, período a período, ela assume a forma de uma progressão geométrica.

O tempo de duplicação FATO

Quantos períodos são necessários para que o capital dobre? Basta resolver $(1+i)^n = 2$(1+i)n=2:

$n = \frac{\ln 2}{\ln(1+i)}$n=ln(1+i)ln2​

Esse número não depende do capital: dobrar 100 € ou 100 milhões exige o mesmo tempo, porque a fórmula é multiplicativa.

Como $\ln 2 \approx 0{,}693$ln2≈0,693 e $\ln(1+i) \approx i$ln(1+i)≈i para taxas pequenas, obtém-se primeiro $n \approx 69{,}3/(100\,i)$n≈69,3/(100i). O uso corrente eleva esse número a 72, o que dá a aproximação conhecida como regra de 72: o tempo de duplicação vale cerca de $72/(100\,i)$72/(100i), ou seja, 72 dividido pela taxa expressa em porcentagem. Essa substituição é uma comodidade de cálculo, não um resultado exato: 72 é divisível por mais inteiros do que 69 ou 70, os dois inteiros que cercam 69,3. A elevação corrige, além disso, o viés deixado pela aproximação $\ln(1+i) \approx i$ln(1+i)≈i — ela o anula em torno de 8 %, ultrapassa-o para as taxas menores e não o compensa inteiramente para as taxas mais altas.

A aproximação é excelente em torno de 8 % e se degrada nas duas extremidades: superestima o prazo para as taxas menores e o subestima para as taxas mais altas. É um instrumento de cálculo mental, não um substituto da fórmula.

A frequência de capitalização FATO

Uma taxa anunciada não basta para determinar um rendimento: é preciso saber em que ritmo os juros são incorporados ao capital. Por convenção, uma taxa nominal anual $i$i capitalizada $m$m vezes ao ano aplica $m$m vezes a taxa periódica $i/m$i/m — nada o impõe matematicamente, é uma convenção de mercado. Ao fim de um ano, ou seja, após $m$m períodos de capitalização, o capital vale portanto:

$C\left(1 + \frac{i}{m}\right)^{m}$C(1+mi​)m

A taxa efetiva anual é o acréscimo realmente obtido no ano, ou seja, $(1+i/m)^m - 1$(1+i/m)m−1. Para uma taxa nominal de 10 %:

Com taxa nominal positiva, capitalizar com mais frequência aumenta, portanto, a taxa efetiva. Duas taxas nominais só são, assim, comparáveis quando reduzidas a uma mesma frequência — ou convertidas em taxas efetivas.

Mas o ganho se esgota: a sequência não dispara, ela converge. Seu limite quando $m$m cresce indefinidamente define a capitalização contínua:

$\lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{i}{m}\right)^{m} = e^{\,i}$m→∞lim​(1+mi​)m=ei

onde $e \approx 2{,}71828$e≈2,71828 é o número notável obtido no caso $i = 1$i=1, ou seja, $\lim_{m \to \infty}(1+1/m)^m$limm→∞​(1+1/m)m. Aqui $e^{0{,}1} \approx 1{,}105171$e0,1≈1,105171, ou seja, 10,5171 % efetivos. Entre a capitalização diária e a capitalização contínua resta menos de dois milésimos de ponto percentual: passado certo ritmo, aumentar a frequência quase não muda mais nada.

Esse limite tem um interesse próprio, que o cálculo com $m$m finito não dá: $e^{\,i}$ei já não depende de $m$m. Ele fornece, portanto, uma referência única, independente do ritmo de capitalização, e uma escrita $C\,e^{\,iT}$CeiT — onde $T$T é a duração contada em anos, ou seja, $n = mT$n=mT períodos de capitalização — que se manipula mais simplesmente do que $C(1+i/m)^{mT}$C(1+i/m)mT.

A imagem da bola de neve ANALOGIA

Descreve-se frequentemente a capitalização como uma bola de neve: ao rolar, ela recolhe neve, engorda, e sua superfície aumentada a faz recolher ainda mais. A imagem restitui fielmente o traço essencial — o acréscimo depende do tamanho já atingido.

Ela deixa de ser fiel num ponto: uma encosta real tem comprimento, a neve uma quantidade finita, e a bola acaba por parar ou se quebrar. Já a fórmula $C(1+i)^n$C(1+i)n não comporta nenhum termo de saturação: nada nela limita o crescimento. A analogia esclarece o mecanismo, não prova nada e não deve ser tomada por uma descrição dos limites do mecanismo real.

O que a fórmula supõe FATO

A igualdade $V_n = C(1+i)^n$Vn​=C(1+i)n é exata sob quatro condições, e seu resultado só se interpreta corretamente sob outras duas.

Para que a fórmula se aplique:

• Uma taxa constante em todo o horizonte. Se a taxa varia de um período a outro, é preciso multiplicar os fatores um a um: $V_n = C\,(1+i_1)(1+i_2)\cdots(1+i_n)$Vn​=C(1+i1​)(1+i2​)⋯(1+in​). A potência é apenas o caso particular em que todas as taxas são iguais.
• Uma capitalização efetiva. Juros pagos e retirados a cada período pertencem aos juros simples, qualquer que seja o nome dado ao produto.
• Um capital deixado intacto. Todo aporte ou retirada de capital no meio do caminho sai da fórmula: cada fluxo deve então ser capitalizado separadamente, a partir de sua própria data.
• Apenas deduções proporcionais. Um encargo fixo por período faz o valor sair da forma $C(1+i)^n$C(1+i)n, pois se subtrai então um montante que o fator não consegue absorver. Já uma dedução proporcional preserva a forma — mas muda a taxa a empregar, como diz a condição seguinte.

Para que o resultado signifique alguma coisa:

• A taxa correta. Encargos e impostos proporcionais cobrados a cada período reduzem o fator: é a taxa líquida que deve figurar na fórmula. A distância entre o bruto e o líquido aprofunda-se então com a duração, sua razão crescendo como a $n$n-ésima potência de $(1+i)/(1+i_{\mathrm{net}})$(1+i)/(1+inet​).
• Uma unidade de medida estável. Um rendimento de 5 % em euros correntes, quando os preços aumentam 3 %, não deixa 2 % de poder de compra a mais, mas $1{,}05/1{,}03 - 1 \approx 1{,}94\,\%$1,05/1,03−1≈1,94%: as taxas compõem-se, não se somam. A subtração é apenas uma aproximação, tanto mais grosseira quanto mais elevadas forem as taxas. (A palavra nominal assume aqui um segundo sentido — antes da correção da inflação, por oposição a um rendimento real — que não se deve confundir com a taxa nominal da seção sobre a frequência de capitalização, a qual se opõe à taxa efetiva.)

Duas observações, por fim. O mecanismo é indiferente à direção do empréstimo: uma dívida cujos juros não pagos se somam ao capital cresce segundo exatamente a mesma fórmula. E se $i$i estiver compreendido entre $-1$e$e0$, o fator $1+i$1+i fica compreendido entre 0 e 1: a mesma progressão geométrica descreve então uma erosão, cada vez mais lenta em valor absoluto.

Resumo

Os juros compostos fazem os juros incidirem sobre os juros já acumulados: a quantia segue uma progressão geométrica de razão $1+i$1+i, cuja vantagem sobre os juros simples, assim que a taxa é positiva, cresce sem limite com a duração.