Conjuntos

Definição

Um conjunto é uma coleção de objetos bem definidos, chamados elementos. Por exemplo,

$A=\{2,4,6\}$A={2,4,6}

e $4\in A$4∈A diz que 4 pertence a $A$A. Já $5\notin A$5∈/A.

Ordem e repetições não mudam um conjunto: $\{2,4,6\}${2,4,6}, $\{6,4,2\}${6,4,2} e $\{2,2,4,6\}${2,2,4,6} designam o mesmo conjunto. Só importa quais elementos pertencem à coleção.

Descrever um conjunto

Podemos listar seus elementos por extensão:

$B=\{a,e,i,o,u\}$B={a,e,i,o,u}

ou defini-los por uma propriedade:

$C=\{n\in\mathbb{N}\mid n<5\}=\{0,1,2,3,4\}$C={n∈N∣n<5}={0,1,2,3,4}

Aqui adotamos a convenção $0\in\mathbb{N}$0∈N. A barra vertical é lida “tal que”. A propriedade deve decidir sem ambiguidade se um objeto pertence ao conjunto.

Conjunto vazio, igualdade e cardinalidade

O conjunto vazio $\varnothing$∅ não contém elemento algum. Não deve ser confundido com $\{\varnothing\}${∅}, que contém um elemento: o próprio conjunto vazio.

Dois conjuntos são iguais quando têm exatamente os mesmos elementos. Para um conjunto finito $A$A, sua cardinalidade $|A|$∣A∣ é o número de elementos. Se $A=\{2,4,6\}$A={2,4,6}, então $|A|=3$∣A∣=3.

Inclusão e subconjuntos

Escrevemos $A\subseteq B$A⊆B quando todo elemento de $A$A também pertence a $B$B. Por exemplo,

$\{2,4\}\subseteq\{1,2,3,4\}${2,4}⊆{1,2,3,4}

Pertencimento e inclusão são relações diferentes: $2\in A$2∈A compara objeto e conjunto; $A\subseteq B$A⊆B compara conjuntos. Todo conjunto está incluído em si mesmo e o conjunto vazio está incluído em qualquer conjunto.

Três operações fundamentais

Sejam $A=\{1,2,3\}$A={1,2,3} e $B=\{3,4\}$B={3,4}.

O “ou” da união é inclusivo: um elemento presente nos dois conjuntos pertence à união, mas aparece uma vez. Se um universo $U$U é fixado, o complemento de $A$A em $U$U é $U\setminus A$U∖A. Sem universo escolhido, “o complemento de $A$A” está incompleto.

Diagramas ajudam, mas não definem

Um diagrama de Venn representa conjuntos como regiões. A sobreposição mostra a interseção e as regiões combinadas mostram a união. É uma ajuda, não a definição: uma prova retorna às condições de pertencimento.

Para mostrar $A\cap B\subseteq A$A∩B⊆A, tome $x\in A\cap B$x∈A∩B. Pela definição, $x\in A$x∈A e $x\in B$x∈B; logo, $x\in A$x∈A.

Por que a abstração é útil

Conjuntos oferecem vocabulário comum à matemática e à computação. Domínios de valores, resultados de consulta, vértices de grafo ou casos aceitos por uma regra podem ser conjuntos. Relações viram conjuntos de pares ordenados e funções usam domínio e contradomínio. Assim, conjuntos são pré-requisito para relações, funções, bancos de dados, probabilidade e grafos.

Resumo

Um conjunto é determinado por seus elementos: pertencimento liga objeto e conjunto; inclusão compara conjuntos; união, interseção e diferença constroem novos conjuntos.

Referências pedagógicas

• ACM/IEEE-CS/AAAI — Computer Science Curricula 2023, Mathematical and Statistical Foundations
• National University of Singapore — CS1231S, Discrete Structures
• Australian National University — MATH1005, Discrete Mathematical Models