1. Objetivo e pré-requisitos

Pré-requisitos: calcular uma taxa de variação entre dois pontos e compreender um limite simples. O objetivo é construir a derivada a partir dessas duas ideias e interpretá-la como inclinação e mudança instantânea.

Ao final, você deve explicar o quociente incremental, calcular uma derivada simples por primeiros princípios e escrever uma equação de tangente.

2. Das secantes à tangente

Para uma função f e uma entrada a, escolha uma segunda entrada a+h. A taxa de variação entre os pontos é

(f(a+h)-f(a))/h, com h≠0.

Geometricamente, ela é a inclinação da secante por (a,f(a)) e (a+h,f(a+h)). À medida que h diminui, o segundo ponto se aproxima do primeiro. Se as inclinações das secantes se aproximam de um único valor, esse valor descreve a inclinação local da curva.

3. Definição da derivada em um ponto

f é derivável em a quando existe e é finito o limite

f'(a)=lim_{h→0}(f(a+h)-f(a))/h.

O número f'(a) é a derivada de f em a.

É uma afirmação local. Não significa que a função seja exatamente linear perto de a, mas que, em escala suficientemente pequena, sua mudança é bem aproximada por uma reta de inclinação f'(a).

4. Sentido geométrico e equação da tangente

A tangente ao gráfico de f em A=(a,f(a)) tem inclinação f'(a). Sua equação é

y=f(a)+f'(a)(x-a).

O sinal de f'(a) traz informação local: positivo indica subida da curva, negativo indica descida e zero uma tangente horizontal. Derivada zero, sozinha, não prova máximo ou mínimo.

5. Exemplo resolvido por primeiros princípios

Considere f(x)=x² e a=2.

(f(2+h)-f(2))/h=((2+h)²-4)/h.

Expandindo: (4+4h+h²-4)/h=(4h+h²)/h=4+h para h≠0.

Quando h tende a 0, 4+h tende a 4. Logo f'(2)=4.

A tangente passa por (2,4) e tem inclinação 4:

y=4+4(x-2)=4x-4.

O cálculo mostra a lógica da derivada sem assumir a regra (x²)'=2x.

6. Mudança instantânea e unidades

Se f representa posição em metros e a entrada é tempo em segundos, uma taxa média tem unidade m/s. A derivada mantém essa unidade, mas descreve o valor instantâneo limite.

Ela não mede diretamente um intervalo finito: é o valor para o qual convergem as taxas médias quando o intervalo encolhe em torno do ponto.

7. Prática

7.1. Derivar por primeiros princípios

Para f(x)=x², calcule f'(3) a partir do limite de (f(3+h)-f(3))/h quando h tende a 0. Expanda e simplifique antes do limite e interprete o resultado como inclinação.

Correção guiada. Para h≠0 o quociente se simplifica para 6+h, então o limite é 6; a tangente em x=3 tem inclinação 6.

7.2. Observar uma velocidade instantânea

Modele a posição por s(t)=t² metros, com t em segundos. Calcule as velocidades médias de t=2 até t=2+h para h=1, 0,5 e 0,1. Compare-as e explique o que a aproximação a um valor sugere.

Critérios de sucesso. Os quocientes usam os intervalos corretos, as unidades são m/s e a interpretação distingue média em intervalo e valor instantâneo limite.

7.3. Recuperar uma derivada sem regra pronta

Para g(x)=x³, determine g'(1) por primeiros princípios usando (g(1+h)-g(1))/h. Depois escreva a equação da tangente em x=1 e justifique cada etapa.

Critérios de sucesso. A resposta expande o cubo, coloca h em evidência antes do limite, obtém a inclinação correta e constrói a tangente por (1,1), sem invocar diretamente (x³)'=3x².

8. Resumo

A derivada em um ponto é um limite de taxas de variação. Essas taxas são inclinações de secantes; seu limite fornece a inclinação da tangente. O mesmo número pode descrever uma mudança instantânea, com unidades herdadas do contexto.

9. Fontes curriculares

• Ministério francês da Educação — programa 2026 de première générale, seção “Dérivation”: boletim oficial.
• UK Department for Education — GCE AS and A level Mathematics, seção G “Differentiation”: conteúdo oficial.

10. Nota de revisão

Lição preparada em 26 de setembro de 2026 a partir de dois referenciais oficiais de países diferentes. Os cálculos foram recomputados e as oito versões linguísticas foram revistas em duas passagens pelo mesmo modelo; não se afirma validação humana independente nem ganho de aprendizagem medido.