Закон убывающей отдачи

Определение ФАКТ

На участке площадью один гектар сначала работает один человек, затем работников становится двое, а со временем — десять. Первые дополнительные работники дают большой прирост: труд можно разделить, работники специализируются на отдельных задачах, и урожай быстро растёт. После определённого числа каждый дополнительный работник добавляет меньше предыдущего. Дело не в том, что он плохо работает: ему приходится делить тот же участок со всё большим числом людей.

Закон убывающей отдачи — это стандартная гипотеза, согласно которой при неизменной технологии и фиксированных остальных факторах производства дополнительный объём выпуска, получаемый при добавлении одной единицы переменного фактора, в конечном счёте уменьшается по мере роста этого фактора. Закон описывает многие технологии в краткосрочном периоде, но не является универсальной теоремой.

В этом утверждении содержатся четыре уточнения, и каждое из них часто упускают из виду.

• Закон относится к дополнительному выпуску — предельному продукту, — а не к совокупному выпуску. Последний продолжает расти, пока предельный продукт остаётся положительным, даже когда сам предельный продукт снижается.
• В законе сказано «в конечном счёте». Ничто не мешает предельному продукту сначала расти; гипотеза утверждает, что после некоторого порога предельный продукт снижается по мере увеличения фактора.
• Закон требует, чтобы остальные факторы оставались фиксированными. Без этого контроля измеряется уже не предельный продукт изучаемого фактора; одновременное изменение всех факторов относится к другому вопросу — отдаче от масштаба.
• Закон предполагает неизменную технологию. Он описывает поведение данной производственной функции и никогда не сравнивает две разные технологии.

Как читать производственную таблицу ФАКТ

Рассмотрим участок площадью в один гектар — фиксированный фактор, — к которому добавляют одинаковых работников, представляющих единственный переменный фактор. Совокупный продукт $Q$Q — это урожай в центнерах; предельный продукт $\mathrm{Pm}$Pm — разница в урожае, приходящаяся на последнего работника; средний продукт $\mathrm{PM} = Q/L$PM=Q/L — урожай в расчёте на число работников.

В этом столбце предельного продукта видны три фазы, и важно их не смешивать.

• До третьего работника включительно предельный продукт растёт (10, затем 14, затем 15). Фаза убывающей предельной отдачи в этой таблице ещё не началась.
• С четвёртого по седьмого он снижается (13, 10, 7, 4), оставаясь положительным: это и есть убывающая отдача в собственном смысле. Заметим, что совокупный урожай при этом продолжает расти — с 39 до 73 центнеров. Снижение предельного продукта не означает падения выпуска.
• При восьмом работнике предельный продукт становится отрицательным: совокупный урожай сокращается с 73 до 72. Эта фаза отличается от предыдущей; закон её не утверждает. Он говорит, что предельный продукт снижается, а не что он становится меньше нуля.

Максимум совокупного продукта, здесь 73 центнера, достигается при последнем работнике, чей предельный продукт остаётся положительным, — седьмом, вклад которого всё ещё равен 4 центнерам. Как только к сумме добавляется отрицательная величина, сумма может лишь уменьшиться.

Предельный и средний продукты ФАКТ

Таблица показывает закономерность, в которой нет ничего специфически экономического: она верна для любой средней величины.

Пока предельный продукт превышает средний, он тянет среднюю величину вверх. Как только он опускается ниже, он тянет её вниз. Поэтому средний продукт перестаёт расти там, где предельный продукт достигает его, а затем пересекает: здесь максимальное значение 13,0 достигается при третьем и четвёртом работниках, а при четвёртом $\mathrm{Pm} = \mathrm{PM} = 13$Pm=PM=13.

Это знакомое свойство любой средней величины: оценка выше среднего повышает его, оценка ниже среднего понижает, а равная ему оставляет на месте. Ничего другого здесь не используется.

Такое прочтение сопровождается двумя оговорками. Точное совпадение точки пересечения с максимумом — результат дифференциального исчисления: производная $Q/L$Q/L обращается в ноль именно тогда, когда $\mathrm{Pm} = \mathrm{PM}$Pm=PM; для таблицы целых чисел это верно лишь приближённо, поскольку максимум может образовать плато, как здесь. Кроме того, равенство двух величин при первом работнике ($\mathrm{Pm} = \mathrm{PM} = 10$Pm=PM=10) — тождество без содержательного значения: при единственном работнике средний продукт и есть предельный продукт.

У этого различия есть практическое следствие. Средний продукт может оставаться неизменным, хотя закон убывающей отдачи уже действует: между третьим и четвёртым работниками предельный продукт упал с 15 до 13, тогда как средний продукт удержался на уровне 13,0. Следовательно, наблюдаемая стабильная средняя производительность не доказывает отсутствия убывающей отдачи.

От предельного продукта к предельным издержкам ФАКТ

Именно здесь закон связывается с формированием цен. Предположим, что труд — единственный переменный фактор, оплачиваемый по одной и той же ставке $w$w независимо от числа нанятых работников, то есть работодатель принимает рыночную ставку заработной платы как заданную и не влияет на неё; будем также считать труд делимым. Это приближение позволяет использовать непрерывную запись там, где таблица учитывает только целых работников.

Тогда для получения одной дополнительной единицы выпуска требуется $1/\mathrm{Pm}$1/Pm дополнительного работника; следовательно, она обходится в

$\mathrm{Cm} = \frac{w}{\mathrm{Pm}}$Cm=Pmw​

где $\mathrm{Cm}$Cm — предельные издержки, то есть издержки дополнительной единицы в окрестности рассматриваемой точки. При этих предпосылках и пока $\mathrm{Pm}>0$Pm>0 предельные издержки, с точностью до множителя $w$w, изменяются обратно пропорционально предельному продукту: когда одно снижается, другое растёт.

При заработной плате 100 € на работника:

В этом примере предельные издержки описывают U-образную кривую, потому что предельный продукт сначала растёт, достигает максимума, а затем снижается. Закон объясняет рост предельных издержек при снижении положительного предельного продукта; он не требует предшествующей фазы снижения предельных издержек. Начиная с четвёртого работника в этой таблице, увеличение производства обходится всё дороже на единицу, хотя заработная плата не растёт: удорожание вызвано снижением предельного продукта.

Отсюда следует связь с кривой предложения. Производитель, принимающий рыночную цену как заданную, согласится предложить ещё одну единицу, только если эта цена покрывает её издержки; поскольку в фазе убывающей отдачи эти издержки растут вместе с количеством, для получения большего количества требуется более высокая цена. В этой краткосрочной модели снижение предельного продукта повышает предельные издержки и тем самым придаёт соответствующему участку кривой предложения фирмы-ценополучателя восходящий наклон.

Этот вывод ограничивают три оговорки. Рассуждение предполагает производителя, являющегося ценополучателем. При несовершенной конкуренции, особенно в случае монополии, кривой предложения, не зависящей от спроса, как правило, не существует, поскольку цена и количество выбираются совместно. Для фирмы при совершенной конкуренции её краткосрочную кривую предложения образует лишь участок предельных издержек, расположенный выше минимума средних переменных издержек. На уровне рынка наклон предложения зависит также от различий в издержках производителей, которые это рассуждение игнорирует.

Не путать с отдачей от масштаба ФАКТ

Возражение возникает естественно: предположим, что завод удваивает и станки, и работников, а его выпуск также удваивается. Значит ли это, что закон ложен? Нет — поставлен другой вопрос.

Поэтому два понятия не равнозначны и без труда могут сочетаться в одной технологии. Рассмотрим производственную функцию $Q = L^{1/2}K^{1/2}$Q=L1/2K1/2, где $K$K обозначает капитал. Умножение обоих факторов на $t$t даёт

$(tL)^{1/2}(tK)^{1/2} = t\,L^{1/2}K^{1/2} = tQ$(tL)1/2(tK)1/2=tL1/2K1/2=tQ

то есть в точности постоянную отдачу от масштаба: удвоение всего удваивает выпуск. Однако при фиксированном капитале $\bar K$Kˉ предельный продукт труда $\partial Q/\partial L = \tfrac{1}{2}L^{-1/2}\bar K^{1/2}$∂Q/∂L=21​L−1/2Kˉ1/2 строго убывает по $L$L, причём начиная с первой единицы.

Пример устанавливает точное утверждение, которого достаточно для опровержения возражения: постоянная отдача от масштаба вовсе не исключает убывающего предельного продукта, когда один фактор сохраняется фиксированным. Пример не доказывает, что все технологии с постоянной отдачей от масштаба обладают этим свойством; например, $Q=L+K$Q=L+K также имеет постоянную отдачу от масштаба, но предельный продукт труда у неё равен 1.

В дифференцируемой формулировке гипотеза утверждает, что существует порог $L^{*}$L∗, начиная с которого $\partial^{2} Q/\partial L^{2} < 0$∂2Q/∂L2<0, при фиксированном количестве остальных факторов. В таблице целых чисел этому соответствуют предельные разности, уменьшающиеся после порога. Это свойство производственной функции при фиксированных факторах, а не её поведения при совместном изменении всех факторов.

Статус закона ФАКТ

Несмотря на название, закон — не теорема, выведенная из аксиом: это гипотеза о производстве в краткосрочном периоде, справедливость которой зависит от изучаемой технологии. Ограниченность выпуска лишь не позволяет предельному продукту бесконечно оставаться выше положительного порога; её недостаточно, чтобы доказать монотонное убывание после некоторой точки.

Поэтому порог $L^{*}$L∗ нельзя вывести из общего принципа: его измеряют или оценивают для данной технологии и данного рабочего диапазона. В построенной здесь таблице снижение начинается с четвёртого работника; иная организация, иной объём фиксированного капитала или инновация могут изменить, сохранить или устранить этот порог в наблюдаемом диапазоне.

Что закон предполагает — и чего он не утверждает ФАКТ

• Остальные факторы остаются фиксированными во время предельного изменения. Это необходимое условие, чтобы отнести измеренное изменение выпуска к изучаемому фактору. В более общем смысле краткосрочный период определяется как горизонт, на котором хотя бы один фактор не может быть скорректирован; однако описанный здесь предельный эксперимент сохраняет постоянными все факторы, кроме изменяемого.
• Технология не меняется. Инновация изменяет производственную функцию, к которой применяется гипотеза. Поэтому рост урожая от поколения к поколению недостаточен для опровержения закона, потому что эти два наблюдения могут относиться к разным производственным функциям.
• Единицы переменного фактора однородны. Если добавляемые работники становятся всё менее квалифицированными, эта неоднородность может изменить предельный продукт и исказить измерение. Само по себе наблюдение тогда не позволяет отделить эффект фиксированных факторов. Закон предполагает взаимозаменяемые единицы, чтобы в модели изменение можно было отнести к производственной комбинации, а не к изменению качества переменного фактора.
• Факторы используются эффективно. Таблица сравнивает точки, в которых из каждой комбинации извлекается максимально возможный выпуск. Снижение, вызванное плохой организацией, не относится к закону.

Наконец, закон ничего не говорит о желательном уровне. Чтобы понять, до какой степени увеличивать переменный фактор, нужно сравнить то, что приносит дополнительная единица, с тем, во что она обходится, — следовательно, нужны цены, отсутствующие в утверждении. Убывающая отдача описывает технологию; она не предписывает никакого количества.

Резюме

При неизменной технологии увеличение одного фактора при фиксированных остальных часто в конечном счёте снижает его предельный продукт; если он является единственным переменным фактором, оплачивается по постоянной цене и его предельный продукт остаётся положительным, это снижение повышает предельные издержки.

Основные источники ФАКТ

• OpenStax — Production in the Short Run
• OpenStax — Costs in the Long Run
• OpenStax — Marginal Cost and the Firm's Supply Curve
• MIT OpenCourseWare — Production and Cost