1. Цели и предварительные знания

Предварительно: множества и вещественные числа. Цель — определять функции, вычислять f(x), читать прообразы, связывать представления и выбирать область определения.

2. Определение: один вход — один выход

Функция f сопоставляет каждому x из D ровно один выход f(x). Разные входы могут иметь один и тот же выход, но один вход не может иметь два разных выхода.

3. Область определения, значение функции и прообраз

Область определения содержит допустимые входы. Значение функции в точке x равно f(x). Прообраз y — это x, для которого f(x)=y. Контекст может ограничивать область определения.

4. Четыре представления

Слова, формула, таблица и график могут описывать одну функцию. График состоит из точек (x,f(x)).

5. Решённый пример

Для f(x)=2x+3 имеем f(2)=7; решение f(x)=7 даёт x=2.

6. Практика

6.1. Вычислить функцию

Для f(x)=2x+3 вычислите f(-2), f(0), f(4), найдите вход с выходом 7 и составьте таблицу вход-выход.

Разбор решения. f(-2)=-1, f(0)=3, f(4)=11; для выхода 7 вход x=2.

6.2. Смоделировать тариф

Поездка стоит 4 € фиксированно плюс 1,80 € за км. Определите C(d), реалистичную область, вычислите C(0), C(2), C(5) и объясните 1,80 и 4.

Критерии успеха. C(d)=4+1,8d при d≥0; C(0)=4, C(2)=7,6, C(5)=13. 1,80 — цена за км, 4 — фиксированная плата.

6.3. Распознать функцию

Таблица задаёт -1→3, 0→1, 1→1, 2→3. Определите, является ли это функцией, укажите выход для 2 и входы с выходом 1. Объясните, почему 0→1 и 0→4 вместе не задают функцию.

Критерии успеха. Обоснование использует правило одного выхода на вход и отличает его от допустимого совпадения выходов у разных входов.

7. Углубление: что именно задаёт функция

7.1. Отношение или функция?

Общее отношение может связывать объекты, не являясь функцией. Ключевое условие относится к входам: каждому элементу области определения должен соответствовать ровно один выход. Таблица, где один вход связан с двумя разными выходами, не задаёт функцию. На графике y=f(x) это соответствует проверке вертикальной прямой.

Обратная уникальность не требуется: разные входы могут иметь одно значение. У функции квадрата -2 и 2 дают 4.

7.2. Область определения, кодомен и образ

Область определения содержит допустимые входы, кодомен задаёт множество, в котором объявлены выходы, а образ состоит только из реально достигаемых значений. Для f(x)=x² как отображения R в R образом является [0,+∞). Различие важно при поиске прообразов и обратных функций.

Область определения задаётся не только формулой. В g(x)=1/(x-2) значение x=2 исключено вычислением; модели времени, массы или расстояния могут накладывать дополнительные ограничения контекста.

7.3. Кусочно заданные функции и представления

Правило может меняться на разных частях области и всё равно оставаться одной функцией, если каждый вход имеет один выход. Изменение кусочной формулы должно одинаково отражаться в таблице и на графике.

Переход между словесным описанием, формулой, таблицей и графиком помогает проверять модель: каждое представление подчёркивает разные свойства, и ни одно не является универсально лучшим.

7.4. Чтение графика и частые ошибки

f(3)=5 читают от x=3 к графику и затем к y=5. Прообразы 5 ищут в обратном направлении; их может быть ноль, один или несколько.

Частые ошибки: понимать f(x) как произведение, смешивать кодомен и образ, забывать ограничения области, считать несколько прообразов нарушением определения или выводить единственную формулу из нескольких табличных точек.

7.5. Область определения как проверка модели

Перед вычислением полезно спросить, имеет ли вход смысл. В C(d)=4+1,8d значение d=-3 допустимо для самой алгебраической записи, но не описывает отрицательную длину поездки в выбранной модели. Аналогично, число предметов часто ограничено неотрицательными целыми значениями, тогда как температура может принимать отрицательные вещественные значения. Явно заданная область определения не позволяет спутать корректную формулу с некорректной моделью.

Полезно также проверять граничные случаи: нулевой вход, максимальное разрешённое значение, точки смены кусочной формулы и значения, запрещённые делением или корнем. Такая проверка связывает формулу, таблицу, график и смысл задачи.

8. Итог

Функция сопоставляет каждому входу области определения ровно один выход.

9. Источники программ

• Министерство образования Франции — программа математики Seconde 2026, раздел «Функции»: официальный бюллетень.
• California Department of Education — F-IF.1 и F-IF.2: California Content Standards.

10. Примечание

Подготовлено 20 сентября 2026 года по двум официальным программам разных стран. Текст и переводы подготовлены с ИИ; измеренный прирост обучения не заявляется.