Цифра

Определение

Цифра — это символ, служащий для записи чисел. В десятичной системе их ровно десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Цифра не есть количество: она знак, который его записывает.

Цифра или число

Число 128 записывается тремя цифрами: 1, 2 и 8. Число 7 записывается одной цифрой, носящей то же имя, — отсюда обычная путаница между двумя словами.

Полезная аналогия

Цифры относятся к числам так же, как буквы к словам: конечный алфавит, записывающий бесконечный словарь.

У неё есть предел, как у всякой аналогии. В слове место буквы не придаёт ей никакого значения; в числе место цифры задаёт его, и притом точно.

Позиционная запись

Цифра значит ровно столько, где она написана:

$205 = 2 \times 10^2 + 0 \times 10^1 + 5 \times 10^0$205=2×102+0×101+5×100

Цифра 2 значит два в 512 и двести в 205. Изменилась лишь её позиция.

Ноль играет здесь собственную роль: он не добавляет количества, но занимает разряд. Без него 205 и 25 записывались бы одинаково.

Не всякая система счисления устроена так. Римская запись аддитивна и субтрактивна, но не позиционна: X значит десять и в XVI, и в XIV, каким бы ни был её разряд.

Смена основания

Число доступных цифр задаёт основание. Система с основанием $b$b записывается ровно $b$b цифрами, от 0 до $b-1$b−1.

В шестнадцатеричной системе нужно шестнадцать символов: десяти привычных цифр не хватает, поэтому заимствуют буквы. Это признак того, что «цифра» обозначает роль, а не форму: A — цифра в шестнадцатеричной системе.

Итог

Цифра — символ, число — количество; и вес цифре придаёт её позиция.