変化率を理解する：割線の傾き・区間・単位

変化率は、入力1単位あたりの出力の平均的な変化を表します。計算し、割線の傾きとして読み、単位を解釈します。

1. 目標と前提知識

前提：関数の値を求め、グラフから2点を読むこと。変化率を計算し、割線の傾きとして解釈し、単位を保ち、区間どうしを比較できるようになります。

異なる2入力aとbに対し、fのaからbまでの変化率は(f(b)-f(a))/(b-a)です。分子Δy=f(b)-f(a)は出力の変化、分母Δx=b-aは入力の変化です。0除算を避けるためb≠aが必要です。

A=(a,f(a))とB=(b,f(b))はグラフ上の点です。AとBを通る直線を割線といい、その傾きはちょうどΔy/Δxです。変化率が正なら右上がり、負なら右下がり、0なら水平な割線になります。

単位は出力の単位を入力の単位で割ったものです。たとえばkm/h、°C/h、€/個などです。式や表から計算でき、グラフでは2点を読んで推定できます。グラフの読み取りには丸め誤差が含まれることがあります。

f(x)=x²を1から3まで見ると、f(1)=1、f(3)=9です。したがってΔy=8、Δx=2、変化率は8/2=4です。(1,1)と(3,9)を結ぶ割線の傾きも4です。

f(x)=x²について、x=1からx=4までの変化率を計算してください。f(1)、f(4)、Δx、Δy、最後にΔy/Δxを示してください。

ガイド付き解答。 f(1)=1、f(4)=16、Δy=15、Δx=3なので変化率は5です。

気温が8時に12 °C、11時に18 °C、15時に20 °Cです。8–11時と11–15時の平均変化率を°C/hで計算し、比較してください。また、この平均だけでは一定速度で変化したとは言えない理由を説明してください。

達成基準。 正しい時間差で商を計算し、単位を明示し、区間平均と瞬間的変化を区別していること。

g(x)=x²+1について、[-1,2]と[2,3]の変化率を計算し比較してください。2本の割線を使って、その差がgの変化について何を示すか説明してください。

達成基準。 gの値から2つの商を組み立て、平均の傾きを正しく比較し、それを導関数と呼んでいないこと。

変化率は変化量の比Δy/Δxです。異なる2入力の間の平均的な変化を表し、対応する割線の傾きに等しく、意味のある単位を持ちます。

フランス教育省 — 2026年 première générale 数学専門プログラム、付録p.360「Dérivation」: 公式公報。
California Department of Education — F-IF.6、平均変化率の計算と解釈: California Content Standards。

2026年9月25日、異なる2か国の公式資料を基に作成。数値例は再計算し、本文と翻訳はAIで作成しました。測定済みの学習効果は主張しません。

6. 演習

6.1. 二乗関数で計算する

f(x)=x²について、x=1からx=4までの変化率を計算してください。f(1)、f(4)、Δx、Δy、最後にΔy/Δxを示してください。

ガイド付き解答。 f(1)=1、f(4)=16、Δy=15、Δx=3なので変化率は5です。

6.2. 気温の変化を比較する

達成基準。 正しい時間差で商を計算し、単位を明示し、区間平均と瞬間的変化を区別していること。

6.3. 公式を写さずに2区間を比較する

g(x)=x²+1について、[-1,2]と[2,3]の変化率を計算し比較してください。2本の割線を使って、その差がgの変化について何を示すか説明してください。

達成基準。 gの値から2つの商を組み立て、平均の傾きを正しく比較し、それを導関数と呼んでいないこと。