収穫逓減の法則

定義

一ヘクタールの農地に、一人目の労働者、次に二人目、そして十人目が加わる。初期の増員は大きな効果をもたらす。仕事を分担し、作業を専門化できるため、収穫量は急速に伸びる。ところが、ある人数を超えると、追加される各労働者の貢献はその前の労働者より小さくなる。その労働者の働き方が悪いのではない。同じ農地を、ますます多くの人と共有するからである。

収穫逓減の法則とは、技術が変わらず、かつほかの生産要素が固定されているとき、可変要素を一単位追加して得られる追加生産量が、その要素の増加につれて最終的に減少するという標準的な仮説である。この法則は短期における多くの生産技術を記述するが、普遍的な定理ではない。

この記述には四つの注意点が含まれているが、そのいずれも頻繁に見落とされる。

• この法則が扱うのは追加の生産量、すなわち限界生産物であって、総生産量ではない。限界生産物が低下していても、それが正であるかぎり、総生産量は増え続ける。
• この法則は「最終的に」と述べている。限界生産物が最初に増えることを妨げるものはない。この仮説が主張するのは、ある閾値を超えると、要素の増加に伴って限界生産物が低下するということである。
• ほかの要素が固定されていることを必要とする。この統制がなければ、調べている要素の限界生産物を測っていることにはならない。すべての要素を同時に変化させることは、規模に関する収穫という別の問題に属する。
• 技術が変わらないことを前提とする。これは所与の生産関数の挙動を記述するものであり、異なる二つの技術を比較するものではない。

生産表の読み方

固定要素である一ヘクタールの農地に、唯一の可変要素として同質の労働者を追加する場合を考える。総生産物 $Q$Q はキンタル単位の収穫量、限界生産物 $\mathrm{Pm}$Pm は最後の労働者に帰属する収穫量の差、平均生産物 $\mathrm{PM} = Q/L$PM=Q/L は収穫量を労働者数で割った値である。

限界生産物のこの列からは三つの段階を読み取ることができ、これらを混同してはならない。

• 三人目の労働者までは、限界生産物が増加する（10、次に14、次に15）。この表では、限界収穫逓減の段階はまだ始まっていない。
• 四人目から七人目までは、正のまま低下する（13、10、7、4）。これが本来の意味での収穫逓減である。総収穫量のほうは、39から73キンタルへ増え続けていることに注意したい。限界生産物の低下は、生産量の低下を意味しない。
• 八人目では、限界生産物が負になる。総収穫量は73から72へ減少する。この段階は直前の段階とは別であり、法則が主張するものではない。法則が述べるのは限界生産物が低下することであって、ゼロを下回ることではない。

総生産物の最大値である73キンタルは、限界生産物が正にとどまる最後の労働者、すなわち貢献がまだ4キンタルある七人目で達成される。負の量が加われば、総量は減るほかないからである。

限界生産物と平均生産物

この表は、経済学に固有ではない規則性を示している。これはあらゆる平均について成り立つ。

限界生産物が平均生産物を上回るかぎり、それは平均を押し上げる。下回った瞬間から、平均を押し下げる。したがって、平均生産物は、限界生産物がそれに追いつき、その後交差するところで増加をやめる。ここでは最大値13,0が三人目と四人目の労働者で達成され、四人目で $\mathrm{Pm} = \mathrm{PM} = 13$Pm=PM=13 となる。

これはあらゆる平均に見られる周知の性質である。平均より高い評点は平均を上げ、低い評点は下げ、等しい評点はそのままにする。ここで用いているのはそれだけである。

この読み方には二つの留保がある。交点と最大値が厳密に一致することは微分法の結果であり、$Q/L$Q/L の導関数は $\mathrm{Pm} = \mathrm{PM}$Pm=PM のときに正確にゼロになる。ただし、整数の表では近似的にしか成り立たず、ここで見られるように最大値が平坦な区間に広がることがある。また、最初の労働者における二つの量の一致（$\mathrm{Pm} = \mathrm{PM} = 10$Pm=PM=10）は、意味をもたない恒等関係である。労働者が一人だけなら、平均生産物は限界生産物そのものだからである。

この区別には実務的な帰結がある。収穫逓減の法則がすでに働いていても、平均生産物は維持されうる。三人目から四人目にかけて、限界生産物は15から13に低下した一方、平均生産物は13,0にとどまった。したがって、平均生産性が安定しているという観察は、収穫が逓減していないことの証明にはならない。

限界生産物から限界費用へ

ここで、この法則は価格形成と結びつく。労働が唯一の可変要素であり、雇う労働者数にかかわらず同じ賃金 $w$w が支払われる、つまり雇用主は市場賃金に影響を与えず所与のものとして受け入れる、と仮定する。さらに、表では整数の労働者しか数えていないところを連続的に表記できるようにする近似として、労働を分割可能なものとして扱う。

すると、追加の生産物一単位を得るには、追加の労働者が $1/\mathrm{Pm}$1/Pm 必要となる。したがって、その費用は

$\mathrm{Cm} = \frac{w}{\mathrm{Pm}}$Cm=Pmw​

となる。ここで $\mathrm{Cm}$Cm は限界費用、すなわち考察している点の近傍で一単位を追加する費用である。これらの仮定の下で、かつ $\mathrm{Pm}>0$Pm>0 であるかぎり、限界費用は $w$w を比例係数として限界生産物に反比例する。一方が低下すれば、他方は上昇する。

労働者一人当たりの賃金を100 €とすると、次のようになる。

この例では、限界生産物が最初に増加し、最大値に達してから低下するため、限界費用はU字型の曲線を描く。この法則は、正の限界生産物が低下するときに限界費用が上昇することを説明するが、それに先立つ低下局面を要求しない。この表では四人目の労働者から先は、賃金が上がらなくても、生産を増やすほど一単位当たりの費用が高くなる。費用の上昇は、限界生産物の低下から生じる。

ここから供給曲線とのつながりが生まれる。市場価格を所与として受け入れる生産者は、その価格が追加単位の費用を賄う場合にのみ、もう一単位を供給しようとする。収穫逓減の段階では、この費用が数量とともに上昇するため、より多い数量を引き出すには、より高い価格が必要になる。この短期モデルでは、限界生産物の低下が限界費用を上昇させ、その結果、価格受容企業の供給曲線のうち該当する部分を右上がりにする。

この結論には三つの留保がある。この推論は、生産者が価格受容者であることを前提とする。不完全競争、特に独占では、価格と数量が同時に選択されるため、一般に需要から独立した供給曲線は存在しない。完全競争企業については、限界費用のうち、平均可変費用の最小値を上回る部分だけが短期供給曲線を構成する。市場全体では、供給曲線の傾きは生産者間の費用の違いにも左右されるが、この推論はそれを無視している。

規模に関する収穫と混同しない

次の反論は自然に生じる。ある工場が機械と労働者をともに倍増させ、生産量も倍増したとしよう。法則は誤りなのだろうか。そうではない。問われていることが異なる。

したがって、二つの概念は同じではなく、同じ技術の中で容易に共存する。生産関数 $Q = L^{1/2}K^{1/2}$Q=L1/2K1/2 を考える。ここで $K$K は資本を表す。二つの要素を $t$t 倍すると、

$(tL)^{1/2}(tK)^{1/2} = t\,L^{1/2}K^{1/2} = tQ$(tL)1/2(tK)1/2=tL1/2K1/2=tQ

となり、規模に関する収穫は正確に一定である。すべてを倍にすれば、生産量も倍になる。それでも、資本 $\bar K$Kˉ を固定すると、労働の限界生産物 $\partial Q/\partial L = \tfrac{1}{2}L^{-1/2}\bar K^{1/2}$∂Q/∂L=21​L−1/2Kˉ1/2 は $L$L に対して厳密に減少し、しかも最初の一単位からそうなる。

この例が示すことは明確であり、反論を退けるのに十分である。規模に関する収穫が一定でも、一つの要素を固定したときに限界生産物が低下することはまったく妨げられない。この例は、規模に関する収穫が一定であるすべての技術にこの性質があることを証明するものではない。たとえば $Q=L+K$Q=L+K も規模に関する収穫は一定だが、労働の限界生産物は1に等しい。

微分可能な定式化では、この仮説は、ほかの要素の量を固定したとき、閾値 $L^{*}$L∗ が存在し、それ以降 $\partial^{2} Q/\partial L^{2} < 0$∂2Q/∂L2<0 となると主張する。整数の表では、これは閾値を超えると限界差分が減少することに対応する。これは要素を固定した生産関数の性質であり、すべての要素を一緒に変化させたときの挙動ではない。

法則の位置づけ

法則という名に反して、これは公理から導かれた定理ではない。妥当性が対象となる技術に依存する、短期の生産に関する仮説である。生産量が有界であることから言えるのは、限界生産物が正の閾値を無期限に上回り続けることはない、ということだけである。それだけでは、ある点以降の単調減少を証明できない。

したがって、閾値 $L^{*}$L∗ は一般原理から導けない。所与の技術と操業範囲について測定または推定される。この表では低下は四人目の労働者から始まるが、組織の違い、固定資本の違い、または技術革新によって、観察範囲内の閾値が変化することも、維持されることも、消滅することもありうる。

法則が前提とすること、そして述べていないこと

• 限界的な変化の間、ほかの要素は固定される。これは、測定された生産量の変化を調べている要素に帰属させるための必要条件である。より一般には、短期とは、少なくとも一つの要素を調整できない期間として定義される。ただし、ここで説明した限界実験では、変化させる要素以外のすべてを一定に保つ。
• 技術は変化しない。技術革新は、この仮説が適用される生産関数を変える。したがって、世代を追って収穫量が増えたというだけでは法則を反証できない。二つの観察が同じ関数を対象としていない可能性があるからである。
• 可変要素の単位は同質である。追加される労働者の技能が次第に低くなるなら、その異質性によって限界生産物が変わり、測定が不明瞭になる可能性がある。その場合、観察だけでは固定要素の効果を切り分けられない。法則は単位が相互に交換可能であると仮定し、モデル内の変化を、可変要素の質の変化ではなく、生産的な組み合わせに帰属できるようにしている。
• 要素は効率的に用いられる。この表は、各組み合わせから得られる最大限の生産量を実現している点を比較している。組織運営の悪さによる低下は、この法則には当たらない。

最後に、この法則は望ましい水準について何も述べない。可変要素をどこまで増やすべきかを知るには、追加単位がもたらすものと、その費用とを比較しなければならない。したがって、記述には含まれていない価格が必要になる。収穫逓減は技術を記述するものであり、数量を指示するものではない。

要約

技術が変わらないとき、ほかの要素を固定したまま一つの要素を増やすと、その限界生産物は多くの場合、最終的に低下する。その要素が唯一の可変要素で、その要素への支払価格が一定であり、限界生産物が正であるかぎり、この低下は限界費用を上昇させる。

主要参考文献

• OpenStax — Production in the Short Run
• OpenStax — Costs in the Long Run
• OpenStax — Marginal Cost and the Firm's Supply Curve
• MIT OpenCourseWare — Production and Cost