確率は事象に与えられる 0 と 1 のあいだの測度である。三つの公理があれば、残りはすべて導かれる。

確率

定義

確率とは、事象に与えられる 0 以上 1 以下の数であり、起こりうる結果全体のなかでその事象が占める割合を測る。

結果全体のなす集合を標本空間といい、 $\Omega$ と書く。事象はその部分集合である。「さいころが偶数を出す」は部分集合 $\{2, 4, 6\}$ にあたる。

確率の計算はすべて、三つの言明のうえに立つ。それ以外には何もない。

公理	言明	課すもの
非負性	$P(A) \geq 0$	確率が負になることはない
全体の質量	$P(\Omega) = 1$	何かは必ず起こる
加法性	$A \cap B = \emptyset$ のとき $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$	両立しない事象は足し合わされる

三つめは可算個の和にも及ぶ。無限の標本空間を扱うにはこれで足りる。

この三つは恣意的な出発点ではない。よく使う等式はここから生まれる。

$P(\bar{A}) = 1 - P(A) \qquad P(\emptyset) = 0 \qquad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

最後の式は二重計上を正す。 $P(A)$ と $P(B)$ を足すと両方に属する部分を二度数えるので、一度引かねばならない。加法性そのものは互いに素な事象にしか使えない。

$B$ が起きたと知ることは、 $A$ の占める割合を変える。そこで標本空間を $B$ に制限する。

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0$

この制限が何も変えないとき、二つの事象は独立であるという。 $P(A \mid B) = P(A)$ 、すなわち $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$ と同値である。

独立性は数値の性質であって、直観ではない。因果的なつながりがなくとも従属でありうるし、その逆も起こる。

この形式体系は計算規則を定めるだけで、その意味については沈黙する。二つの読みが並び立つ。頻度主義では、確率は反復における頻度の極限である。ベイズ主義では、改訂されうる信念の度合いを測る。

どちらも同じ三つの公理に従い、同じ数を出す。対立は解釈にあり、計算にはない。

三つの公理が確率計算のすべてを支え、そのいずれも確率の意味を語らない。