実数とは連続な直線上の点である。有理数と分かつのは、そこに隙間がひとつも残らないという点にある。

実数

定義事実

実数とは、連続な直線上の点である。整数も、分数も、根号も、 $\pi$ も、そこに場所を占め、空いたままの位置はひとつもない。

集合 $\mathbb{R}$ を定めるのは、含まれる数の一覧よりも、むしろこの隙間のなさである。

各段は下の段の欠落を補う。最後の段だけは性質が異なる。失敗するのは演算ではなく、行き着く先をもたない数列である。

平方して 2 になる分数は存在しない。既約分数 $p/q$ が $(p/q)^2 = 2$ を満たすとする。すると $p^2 = 2q^2$ ゆえ $p$ は偶数、 $p = 2m$ ゆえ $4m^2 = 2q^2$ 、ゆえに $q$ も偶数。両者が偶数となり、既約という仮定に反する。

それでも $\sqrt{2}$ は存在する。一辺 1 の正方形の対角線である。有理数は、まさに作図できる場所に隙間を残している。

$\mathbb{R}$ を特徴づける性質は一文に収まる。空でなく上に有界な部分集合は、必ず上限をもつ。

平方が 2 未満である有理数の集合をとる。空でなく、上に有界である。しかし $\mathbb{Q}$ の中では最小の上界をもたない。どれをとってもより小さい上界が見つかるからである。 $\mathbb{R}$ ではその最小の上界が存在し、それが $\sqrt{2}$ である。

この性質が $\mathbb{R}$ を特徴づける。同型を除いて、完備な全順序体はこれひとつである。

有理数には番号をつけられる。整数で添字づけられた一列に並べられるからである。実数はそうはいかない。どんな一覧も尽くせない。

実数の無限は有理数の無限より厳密に大きい。それでいて有理数は実数のなかに至るところ稠密である。相異なる二つの実数のあいだには、どれほど近くとも、必ず有理数がひとつ入り込む。

実数とは完備化された有理数である。極限は必ずどこかに行き着く。