極限

定義

関数 $f$f は、$x$x を $a$a に十分近くとることで $f(x)$f(x) を $L$L にいくらでも近づけられるとき、$x \to a$x→a で $L$L に近づくという。

点 $a$a そのものは除かれる。この概念の要点はまさにそこにある。極限が述べるのは近傍であって、値ではない。

定義が禁じねばならないこと

「いくらでも近く」は、誰がどの順で選ぶのかを言わない限り、数学の文ではない。$\varepsilon$ε–$\delta$δ 論法はその両方を定める。

$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \implies |f(x) - L| < \varepsilon$∀ε>0, ∃δ>0:0<∣x−a∣<δ⟹∣f(x)−L∣<ε

相手がまず到達側の許容幅 $\varepsilon$ε を課す。こちらはそれを保証する出発側の幅 $\delta$δ を示さねばならない。量化子の順序こそが主張である。$\delta$δ が $\varepsilon$ε に依存するのであって、その逆ではない。

すべてを正当化する例

$f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$f(x)=x−1x2−1​ を考える。

$x = 1$x=1 では分母が消え、式は意味をなさない。しかし $x \neq 1$x=1 であればつねに約分できる。

$\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x - 1} = x + 1$x−1x2−1​=x−1(x−1)(x+1)​=x+1

つまりこの関数は 1 を除くいたるところで $x + 1$x+1 に等しく、1 では定義されない。1 における極限は 2 — 関数が決してとらない値である。

三つのふるまい

後の二つに極限はない。発散と振動は失敗の仕方が異なる。前者には向きがあり、後者にはない。

連続性はここから導かれる

関数が $a$a で連続であるとは、三つの条件が同時に成り立つことをいう。$f(a)$f(a) が存在し、$a$a における極限が存在し、両者が一致する。

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$x→alim​f(x)=f(a)

前節の関数は第一の条件で躓く。極限は存在するが、値が存在しない。$f(1) = 2$f(1)=2 と定めれば連続にできる。これを連続拡張という。

まとめ

極限は、その点での値とは無関係に、関数が何に近づくかを述べる。