1. 目標と前提知識

前提：集合と実数。関数を定義し、f(x)を計算し、原像を読み、表現を結び付け、適切な定義域を選びます。

2. 定義：一つの入力に一つの出力

関数fはDの各xに出力f(x)をちょうど一つ対応させます。複数の入力が同じ出力を持つことはできますが、一つの入力に異なる二つの出力を対応させることはできません。

3. 定義域・関数値・原像

定義域は許される入力の集合です。xにおける関数値（像）はf(x)です。yの原像はf(x)=yを満たすxです。文脈によって定義域が制限されることがあります。

4. 四つの表現

言葉、式、表、グラフは同じ関数を表せます。グラフは点(x,f(x))の集合です。

5. 解答例

f(x)=2x+3ならf(2)=7で、f(x)=7を解くとx=2です。

6. 演習

6.1. 関数を計算する

f(x)=2x+3 とし、f(-2)、f(0)、f(4)を計算し、出力7の入力を求めて入力・出力表にしてください。

ガイド付き解答。 f(-2)=-1、f(0)=3、f(4)=11、出力7の入力はx=2です。

6.2. 料金をモデル化する

基本料金4ユーロと1kmあたり1.80ユーロの料金をC(d)で表し、現実的な定義域を示し、C(0)、C(2)、C(5)を計算し、1.80と4の意味を説明してください。

達成基準。 C(d)=4+1.8d、d≥0。C(0)=4、C(2)=7.6、C(5)=13。1.80は1kmあたり、4は固定料金です。

6.3. 関数を見分ける

表 -1→3、0→1、1→1、2→3 が関数か判断し、入力2の出力と出力1の入力を答え、0→1と0→4を同時に含む関係が関数でない理由を説明してください。

達成基準。 一つの入力に一つの出力という規則を使い、複数の入力が同じ出力を持てることと区別できています。

7. 発展：関数が本当に表しているもの

7.1. 関係と関数の違い

一般の関係は、必ずしも関数ではありません。決定的なのは入力です。定義域の各入力には、出力がちょうど1つだけ対応しなければなりません。同じ入力に異なる2つの出力を与える表は関数ではありません。y=f(x)のグラフでは、1本の垂直線が複数点で交わるかを調べることで同じ条件を確認できます。

逆方向の一意性は必要ありません。異なる入力が同じ値をとってもよく、平方関数では-2と2のどちらも4に対応します。

7.2. 定義域・終域・値域

定義域は許される入力、終域は出力が属すると宣言した集合、値域は実際に到達する出力です。f(x)=x²をRからRへの関数として考えると、値域は[0,+∞)です。この違いは原像や逆関数を考えるときに重要です。

また定義域は式だけで決まるとは限りません。g(x)=1/(x-2)ではx=2が計算上除外され、時間・質量・距離のモデルでは文脈による制約も加わります。

7.3. 区分的な関数と表現の対応

定義域の場所によって規則が変わっても、各入力に出力が1つなら1つの関数です。区分的な式の変化は表やグラフにも同じように現れなければなりません。

文章、式、表、グラフを行き来することはモデルの検算になります。式は計算、表は選んだ値、グラフは全体の形、文章は量や単位の意味を示します。

7.4. グラフの読み方とよくある誤り

f(3)=5はx=3からグラフへ進み、対応するy=5を読むことです。5の原像を探すときはy=5から対応するxを探し、0個・1個・複数個の場合があります。

よくある誤りは、f(x)を積と読むこと、終域と値域を混同すること、定義域の制約を忘れること、複数の原像を関数の定義違反と考えること、少数の表の点から唯一の式を断定することです。

8. まとめ

関数は定義域の各入力に出力をちょうど一つ対応させます。

9. カリキュラム資料

• フランス教育省 — 2026年Seconde数学課程「関数」: 公式公報。
• California Department of Education — F-IF.1・F-IF.2: California Content Standards。

10. 改訂

2026年9月20日、異なる2か国の公式資料を基に準備。本文と翻訳にAIを使用し、測定済みの学習効果は主張しません。