数字

定義 事実

数字とは、数を書き表すための記号である。十進法にはちょうど十個ある。0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。

数字は量そのものではない。量を書き留める記号である。

数字と数 事実

128 という数は三つの数字で書かれる。1、2、8 である。7 という数は一つの数字で書かれ、その数字は同じ名で呼ばれる。両者が混同されやすいのはこのためである。

有用なアナロジー アナロジー

数字と数の関係は、文字と語の関係に似ている。有限の字母が無限の語彙を書き留める。

ただし、あらゆるアナロジーと同じく限界がある。語のなかで文字の位置は値を与えないが、数のなかで数字の位置は値を、しかも厳密に定める。

位取り記数法 事実

数字の値は、どこに書かれているかによって決まる。

$205 = 2 \times 10^2 + 0 \times 10^1 + 5 \times 10^0$205=2×102+0×101+5×100

数字の 2 は、512 では二を表し、205 では二百を表す。変わったのは位置だけである。

零はここで固有の役割を担う。量を加えはしないが、位を占める。零がなければ、205 と 25 は同じ書き方になってしまう。

すべての記数法がこの仕組みではない。ローマ数字は加法的かつ減法的だが、位取りではない。X は XVI でも XIV でも、位にかかわらず十を表す。

基数を変える 事実

使える数字の個数が基数を定める。基数 $b$b は、0 から $b-1$b−1 までちょうど $b$b 個の数字で書かれる。

十六進法では十六個の記号が要る。通常の十個では足りないため、文字を借りる。これは「数字」が形ではなく役割を指すことの証しである。十六進法において A は数字である。

まとめ

数字は記号、数は量である。そして数字に重みを与えるのは、その位置である。