L'analyse réelle

Ce que l'analyse étudie

L'analyse réelle étudie les fonctions d'une variable réelle au moyen d'un seul outil : le passage à la limite. Continuité, dérivée, intégrale, séries — tout s'y ramène.

Elle n'est pas un assemblage de résultats indépendants. C'est un édifice posé sur une propriété unique, et qui s'effondre entier si on la retire.

L'unique fondation

Cette propriété est la complétude : toute partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$R admet une borne supérieure.

Les grands théorèmes de l'analyse ne s'en déduisent pas seulement — ils lui sont équivalents. Admettre l'un revient à admettre la complétude, et réciproquement.

L'édifice sur ℚ

Le meilleur moyen de voir ce que la complétude apporte est de la retirer. Plaçons-nous sur $\mathbb{Q}$Q, où elle fait défaut, et prenons :

$f(x) = x^2 - 2 \quad \text{sur} \quad [1, 2] \cap \mathbb{Q}$f(x)=x2−2sur[1,2]∩Q

Cette fonction est continue, $f(1) = -1 < 0$f(1)=−1<0 et $f(2) = 2 > 0$f(2)=2>0. Le théorème des valeurs intermédiaires exigerait qu'elle s'annule. Elle ne s'annule pas : sa racine est $\sqrt{2}$2​, qui n'est pas rationnelle.

Le même trou fait tomber les trois autres. La suite des approximations décimales de $\sqrt{2}$2​ est de Cauchy dans $\mathbb{Q}$Q et n'y converge pas ; elle est bornée et n'y admet aucune sous-suite convergente.

ℝ



√2
1
2

Dérivée et intégrale sont des limites

Les deux opérations centrales ne sont que des passages à la limite déguisés :

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$f′(a)=h→0lim​hf(a+h)−f(a)​

L'intégrale de Riemann est de même la limite de sommes d'aires de rectangles dont la largeur tend vers zéro.

Aucune des deux n'a de sens sans la garantie que ces limites existent. C'est pourquoi le calcul différentiel et intégral n'aurait pas pu se fonder sur les seuls rationnels.

Ce que « rigoureux » a fini par vouloir dire

L'analyse a longtemps fonctionné sur des intuitions de continuité et d'infiniment petit qui donnaient des résultats justes sans que l'on sache pourquoi.

La formulation $\varepsilon$ε–$\delta$δ et la construction explicite de $\mathbb{R}$R ont remplacé ces intuitions par des énoncés vérifiables. Le gain n'est pas de trouver des résultats nouveaux : c'est de pouvoir dire exactement de quelle hypothèse chaque théorème dépend.

Résumé

Ôtez la complétude, et l'analyse cesse : ses théorèmes lui sont équivalents, pas seulement subordonnés.