La valeur temps de l'argent

Définition FAIT

Recevoir 1 000 € aujourd'hui ou 1 000 € dans un an : les deux montants s'écrivent de la même façon, et ne sont pourtant pas la même chose. Celui d'aujourd'hui peut être placé, et vaudra davantage dans un an dès lors que le placement rapporte. L'opération inverse est possible — obtenir aujourd'hui une somme attendue plus tard, c'est emprunter — et son prix a la même origine : le rendement auquel le prêteur renonce, en deçà duquel le taux demandé ne descendra pas.

La valeur temps de l'argent est le principe selon lequel un montant n'a de signification économique qu'associé à une date, et que deux montants portant des dates différentes ne se comparent qu'une fois ramenés à une date commune. Tant que l'emploi alternatif rapporte un rendement positif, une somme disponible plus tôt vaut plus qu'une somme disponible plus tard.

Additionner ou soustraire directement deux montants de dates différentes est donc une erreur de même nature qu'additionner des longueurs exprimées dans des unités distinctes.

L'origine de cet écart n'est pas dans le temps lui-même : elle est dans l'existence d'un emploi alternatif. Si aucun placement ne rapportait quoi que ce soit, les deux sommes se vaudraient. C'est parce qu'un capital disponible peut être employé — et que cet emploi rapporte — que l'attente coûte. La valeur temps de l'argent est ainsi le coût d'opportunité appliqué au calendrier : ce que coûte l'attente, c'est le rendement du meilleur emploi auquel elle fait renoncer.

Actualiser, l'opération inverse de la capitalisation FAIT

La capitalisation transporte une somme vers l'avenir en la multipliant par $(1+i)^n$(1+i)n. La question posée ici est symétrique : quelle somme d'aujourd'hui équivaut à un montant $V_n$Vn​ disponible dans $n$n périodes ? Celle qui, capitalisée, redonnerait exactement $V_n$Vn​. Il suffit donc de diviser au lieu de multiplier.

$V_0 = \frac{V_n}{(1+i)^n}$V0​=(1+i)nVn​​

Cette opération s'appelle l'actualisation, $V_0$V0​ la valeur actuelle du flux, et le nombre $1/(1+i)^n$1/(1+i)n le facteur d'actualisation — celui par lequel on multiplie le flux futur. Tant que $i$i est positif, ce facteur est inférieur à 1 et décroît géométriquement avec l'échéance.

Capitalisation et actualisation sont donc une seule et même relation, lue dans deux sens. Toute propriété de l'une a sa contrepartie dans l'autre : tant que le taux reste positif, le facteur d'actualisation décroît d'autant plus vite que le taux est élevé, et un flux très lointain a une valeur actuelle arbitrairement petite.

Le taux d'actualisation est un coût d'opportunité FAIT

Le taux $i$i employé pour actualiser n'est pas une propriété de la somme actualisée. C'est le rendement du meilleur emploi alternatif comparable auquel le capital serait affecté s'il n'était pas immobilisé dans l'opération examinée.

Trois conséquences en découlent, souvent mal comprises.

• Le taux dépend de qui calcule. Deux personnes disposant d'options différentes actualisent légitimement le même flux à des taux différents, et aboutissent à des valeurs actuelles différentes. Ce n'est pas une incohérence : elles ne renoncent pas à la même chose.
• Il n'existe pas de taux « vrai » lisible sur le flux. Le taux est un choix argumenté, dont la justification est l'alternative retenue comme référence. Changer l'alternative change le résultat.
• La valeur actuelle est très sensible à ce choix, d'autant plus que l'horizon est long, puisque le facteur $1+i$1+i y est élevé à la puissance $n$n. Une comparaison honnête examine donc comment la conclusion se déplace quand le taux varie.

Comparer une suite de flux : la valeur actuelle nette FAIT

La plupart des décisions ne portent pas sur un montant unique mais sur une suite de sommes échelonnées : une sortie initiale, puis des rentrées. Chacune est ramenée à la date de référence, et les valeurs actuelles — désormais homogènes — s'additionnent. En comptant négativement les sorties, la somme de ces valeurs actuelles est la valeur actuelle nette (VAN).

$\mathrm{VAN} = \sum_{t=0}^{n} \frac{F_t}{(1+i)^t}$VAN=t=0∑n​(1+i)tFt​​

où $F_t$Ft​ est le flux net de la période $t$t, compté négativement s'il s'agit d'une sortie. Le flux de la date 0 n'est pas actualisé, son facteur valant 1.

Soit une sortie de 1 000 € aujourd'hui contre trois rentrées de 400 € aux périodes 1, 2 et 3. À un taux de 5 % :

$\mathrm{VAN} = -1000 + \frac{400}{1{,}05} + \frac{400}{1{,}05^2} + \frac{400}{1{,}05^3} = -1000 + 380{,}95 + 362{,}81 + 345{,}54 = 89{,}30$VAN=−1000+1,05400​+1,052400​+1,053400​=−1000+380,95+362,81+345,54=89,30

La VAN est positive : l'opération rapporte 89,30 € de plus, en euros d'aujourd'hui, que le placement de référence à 5 %.

Le même calcul à 15 % donne $-1000 + 347{,}826 + 302{,}457 + 263{,}006 \approx -86{,}71$−1000+347,826+302,457+263,006≈−86,71. La VAN est négative, et les mêmes flux deviennent désavantageux. Rien n'a changé sauf l'alternative à laquelle on les compare : la VAN ne mesure pas une qualité intrinsèque, mais un écart à une référence.

C'est bien cet écart, et non un solde brut, qui décide. On remarquera en effet que le total non actualisé des rentrées, 1 200 €, dépasse la sortie de 1 000 € dans les deux cas : cette comparaison-là ne tranche rien, puisqu'elle additionne des montants de dates différentes.

La règle de lecture découle de cette lecture en écart : $\mathrm{VAN} > 0$VAN>0, l'opération est préférable à l'alternative de référence ; $\mathrm{VAN} = 0$VAN=0, les deux se valent ; $\mathrm{VAN} < 0$VAN<0, l'alternative est préférable.

Le taux de rendement interne FAIT

Puisque la VAN dépend du taux, on peut renverser la question et chercher le taux qui l'annule. Ce taux est le taux de rendement interne (TRI) : la valeur de $i$i pour laquelle l'opération et son alternative de référence s'équivalent exactement.

Dans l'exemple précédent, le TRI vaut environ 9,70 %, valeur obtenue par résolution numérique : l'équation est polynomiale de degré $n$n, sans formule générale par radicaux au-delà du degré 4, et impraticable à la main bien avant. Lorsqu'un seul flux futur fait face à un montant initial, le TRI se calcule en revanche directement : $i = (V_n/V_0)^{1/n} - 1$i=(Vn​/V0​)1/n−1. Sa lecture est directe : l'opération est préférable à toute alternative rapportant moins de 9,70 %, et désavantageuse face à toute alternative rapportant davantage. C'est le point de basculement observé entre les deux calculs à 5 % et à 15 %.

Deux limites sont à connaître. Annuler la VAN revient à résoudre $\sum_t F_t\,x^t = 0$∑t​Ft​xt=0, où $x = 1/(1+i)$x=1/(1+i) ; seules les racines $x > 0$x>0 — soit $i > -1$i>−1 — ont un sens, et le TRI s'en déduit par $i = 1/x - 1$i=1/x−1. Tant que les flux ne changent de signe qu'une fois — une sortie, puis des rentrées — une telle racine existe et elle est unique, le TRI pouvant d'ailleurs être négatif si les rentrées totalisent moins que la sortie. Lorsqu'ils en changent plusieurs fois, l'équation peut admettre plusieurs racines recevables, ou aucune, et le TRI cesse alors d'être défini de façon univoque. Par ailleurs, étant un taux, il ne dit rien de la taille de l'opération : un TRI élevé sur une petite somme peut créer moins de valeur qu'un TRI modeste sur une grande. Pour classer des opérations concurrentes, la VAN, qui s'exprime en montant, reste la grandeur pertinente.

Le cas des flux incertains HYPOTHÈSE

Les formules précédentes supposent des flux connus en montant et en date. Dès que le montant futur est incertain, deux ajustements distincts sont possibles : pondérer les flux par leur probabilité, et relever le taux d'actualisation d'une prime de risque au-dessus du rendement d'un emploi réputé sûr. Ces deux ajustements sont couramment pratiqués — c'est leur justification, non leur existence, qui reste discutée.

Ils ne sont pas de même nature. Le premier n'est que le calcul d'une espérance : il est bien défini dès que les probabilités le sont. Mais décider sur la seule espérance suppose déjà l'indifférence au risque — hypothèse que le second ajustement rejette précisément, sans pour autant découler du principe : le principe dit qu'il faut ramener les flux à une date commune, il ne dit pas de combien majorer le taux. L'ampleur de la prime appropriée, et même la légitimité de faire porter par un taux unique deux choses aussi différentes que l'écoulement du temps et l'exposition au risque, restent discutées. On tiendra donc l'actualisation d'un flux incertain pour une pratique de convention, dont le résultat n'a pas le même statut que le calcul sur des flux certains.

Ce que le principe suppose FAIT

• Une même unité. Les flux doivent être exprimés dans la même monnaie et traités de façon homogène au regard de l'inflation : des flux en unités courantes s'actualisent à un taux nominal, celui qui n'est pas corrigé de l'inflation, et des flux exprimés en pouvoir d'achat constant à un taux réel, celui qu'on obtient par $(1+i)/(1+\pi) - 1$(1+i)/(1+π)−1 — où $i$i désigne ici le taux nominal et $\pi$π le taux d'inflation sur la période — et non par simple soustraction. Mélanger les deux est l'erreur la plus fréquente du calcul d'actualisation. (Le mot nominal s'oppose ici à réel ; comme signalé au principe précédent, il s'oppose ailleurs à effectif et suppose alors une fréquence de capitalisation donnée.)
• Un taux adapté à chaque échéance. Rien n'oblige le taux à être unique sur tout l'horizon. S'il diffère selon la période, le facteur devient un produit de facteurs successifs, et l'écriture en puissance n'en est que le cas particulier à taux constant.
• Des dates explicites. L'actualisation exige de connaître la date de chaque flux, pas seulement son montant : $n$n est un paramètre du calcul autant que $i$i.
• Une alternative réellement disponible. La VAN compare à un emploi supposé accessible aux mêmes montants et aux mêmes dates. Si l'alternative est plafonnée ou indisponible, le taux retenu ne mesure plus ce à quoi on renonce effectivement.

Une remarque enfin. Si $i$i est compris entre $-1$ et 0, le facteur d'actualisation dépasse 1, et une somme future vaut plus que la même somme aujourd'hui. Le principe n'affirme donc pas que l'argent perd de la valeur avec le temps — il affirme qu'un montant sans date est incomplet, et que le sens de l'écart est fixé par le signe du taux.

Résumé

Un montant n'a de sens qu'accompagné de sa date : pour comparer des sommes échelonnées dans le temps, il faut les ramener à une date commune en les divisant par $(1+i)^n$(1+i)n, au taux du meilleur emploi alternatif.