1. Objectifs et prérequis

Prérequis : savoir évaluer une fonction et lire deux points de son graphe. À la fin, vous saurez calculer un taux de variation, l’interpréter comme pente d’une sécante, conserver les unités et comparer deux intervalles.

2. Définition : variation de sortie par variation d’entrée

Pour deux entrées distinctes a et b, le taux de variation de f entre a et b est (f(b)-f(a))/(b-a). Le numérateur Δy=f(b)-f(a) mesure la variation de sortie ; le dénominateur Δx=b-a mesure la variation d’entrée. Il faut b≠a pour éviter une division par zéro.

3. Sens géométrique : la pente d’une sécante

Les points A=(a,f(a)) et B=(b,f(b)) appartiennent au graphe. La droite qui passe par A et B est une sécante. Son coefficient directeur est exactement Δy/Δx : le taux de variation. Un taux positif correspond à une sécante montante, un taux négatif à une sécante descendante, et un taux nul à une sécante horizontale.

4. Unités et représentations

Le taux porte l’unité de la sortie divisée par l’unité de l’entrée : km/h, °C/h, €/unité, etc. On peut le calculer depuis une formule ou un tableau, et l’estimer sur un graphique en lisant deux points. Les arrondis d’un graphique rendent l’estimation moins précise qu’un calcul sur des valeurs exactes.

5. Exemple résolu

Pour f(x)=x² entre 1 et 3 : f(1)=1 et f(3)=9. Donc Δy=8, Δx=2 et le taux de variation vaut 8/2=4. Géométriquement, la sécante reliant (1,1) à (3,9) a une pente de 4.

6. Mise en pratique

6.1. Calculer sur une fonction carré

Pour f(x)=x², calcule le taux de variation entre x=1 et x=4. Détaille f(1), f(4), Δx, Δy puis le quotient Δy/Δx.

Correction guidée. f(1)=1 et f(4)=16 ; Δy=15 et Δx=3 ; le taux vaut 5.

6.2. Comparer une évolution de température

Une température vaut 12 °C à 8 h, 18 °C à 11 h et 20 °C à 15 h. Calcule le taux moyen de variation sur 8 h–11 h puis sur 11 h–15 h, avec l’unité °C/h. Compare les deux intervalles et explique pourquoi ces moyennes ne prouvent pas que la température a changé à vitesse constante.

Critères de réussite. Les deux quotients utilisent les durées correctes, les unités sont explicites et la conclusion distingue moyenne sur un intervalle et évolution instantanée.

6.3. Comparer deux intervalles sans recopier une formule

Pour g(x)=x²+1, calcule le taux de variation sur [-1;2] puis sur [2;3]. Compare les résultats et explique, à partir des deux sécantes, ce que cette différence dit de l’évolution de g.

Critères de réussite. La justification reconstruit les deux quotients à partir des valeurs de g, compare correctement les pentes moyennes et ne les présente pas comme des dérivées.

7. Approfondissement : l’intervalle change la lecture

7.1. Une même fonction, plusieurs taux

Le taux de variation dépend des deux bornes choisies. Pour f(x)=x², le taux sur [0;1] vaut (1-0)/(1-0)=1, tandis que sur [1;2] il vaut (4-1)/(2-1)=3. Sur [-1;1], il vaut (1-1)/(1-(-1))=0, même si la fonction n’est pas constante entre -1 et 1. Un taux moyen résume donc l’évolution entre deux extrémités ; il ne décrit pas tous les comportements intermédiaires.

Cette dépendance à l’intervalle est informative : comparer plusieurs intervalles permet de voir si une évolution s’accélère, ralentit ou change de sens, sans encore parler de dérivée.

7.2. Valeur absolue, pourcentage et unités

Un taux de variation Δy/Δx n’est pas automatiquement un pourcentage. Une hausse de 20 € en 4 jours donne 5 €/jour. Un pourcentage répond à une autre question : il rapporte une variation à une valeur de référence. Confondre ces deux quotients peut produire une interprétation correcte numériquement mais fausse conceptuellement.

Les unités doivent toujours être annoncées. Elles permettent de distinguer, par exemple, 5 km/h, 5 °C/h et 5 €/unité. Changer l’unité d’entrée modifie la valeur numérique : 60 km/h équivaut à 1 km/min.

7.3. Formule, tableau et graphique : précision différente

Avec une formule et des valeurs exactes, le quotient peut être exact. Dans un tableau, la précision dépend des mesures enregistrées. Sur un graphique, les coordonnées sont souvent lues approximativement ; la pente obtenue doit alors être présentée comme une estimation. Plus deux points sont difficiles à lire précisément, plus l’incertitude relative du quotient peut devenir importante.

Pour comparer deux taux, il faut aussi comparer des intervalles compatibles et conserver la même convention de signe. Inverser l’ordre des bornes change à la fois Δx et Δy, donc laisse le quotient inchangé ; changer une seule différence de signe crée au contraire une erreur.

7.4. Erreurs et confusions fréquentes

Erreurs fréquentes : oublier de diviser par la variation d’entrée ; utiliser b-a=0 ; perdre les unités ; confondre taux moyen, variation totale et pourcentage ; lire la pente d’une seule tangente alors que la question porte sur deux points ; ou conclure qu’un taux moyen nul signifie « aucune variation » à l’intérieur de l’intervalle.

Le taux de variation répond à une question précise : combien la sortie change en moyenne par unité d’entrée entre deux bornes données. La dérivée répondra plus tard à une question locale, obtenue en faisant tendre l’intervalle vers un point.

8. Synthèse

Un taux de variation est un quotient d’accroissements : Δy/Δx. Il décrit une variation moyenne entre deux entrées distinctes, se lit comme la pente de la sécante correspondante et conserve des unités interprétables.

9. Sources de programme

• Ministère de l’Éducation nationale — programme de spécialité mathématiques de première générale 2026, annexe p. 360, « Dérivation » : Bulletin officiel.
• California Department of Education — standard F-IF.6, calcul et interprétation du taux moyen de variation : California Content Standards.

10. Note de révision

Cours préparé le 25 septembre 2026 à partir de deux références officielles de pays différents. Les exemples numériques ont été recalculés ; le texte et les traductions ont été préparés avec une IA. Aucun gain d’apprentissage mesuré n’est revendiqué.