La loi des rendements décroissants

Définition FAIT

Une parcelle d'un hectare reçoit un premier ouvrier, puis un deuxième, puis un dixième. Les premiers ajouts font beaucoup : le travail se répartit, les tâches se spécialisent, la récolte progresse vite. Passé un certain nombre, chaque ouvrier supplémentaire ajoute moins que le précédent. Ce n'est pas qu'il travaille mal : c'est qu'il se partage la même parcelle avec de plus en plus de monde.

La loi des rendements décroissants est l'hypothèse standard selon laquelle, la technologie restant inchangée et les autres facteurs de production restant fixes, la production supplémentaire obtenue en ajoutant une unité du facteur variable finit par décroître à mesure que ce facteur augmente. Elle décrit de nombreuses technologies à court terme, mais n'est pas un théorème universel.

Quatre précisions sont contenues dans cet énoncé, et chacune est régulièrement perdue.

• La loi porte sur la production supplémentaire — le produit marginal — et non sur la production totale. Celle-ci continue de croître tant que le produit marginal reste positif, même lorsque ce dernier diminue.
• Elle dit « finit par ». Rien n'interdit au produit marginal de croître d'abord ; l'hypothèse affirme qu'après un certain seuil, le produit marginal décroît lorsque le facteur augmente.
• Elle exige que les autres facteurs restent fixes. Sans ce contrôle, on ne mesure plus le produit marginal du facteur étudié ; faire varier tous les facteurs ensemble relève d'une autre question, celle des rendements d'échelle.
• Elle suppose la technologie inchangée. Elle décrit le comportement d'une fonction de production donnée, et ne compare jamais deux techniques différentes.

Lire un tableau de production FAIT

Soit une parcelle d'un hectare — le facteur fixe — à laquelle on ajoute des ouvriers identiques, seul facteur variable. Le produit total $Q$Q est la récolte en quintaux ; le produit marginal $\mathrm{Pm}$Pm est l'écart de récolte imputable au dernier ouvrier ; le produit moyen $\mathrm{PM} = Q/L$PM=Q/L est la récolte rapportée au nombre d'ouvriers.

Trois phases se lisent dans cette colonne du produit marginal, et il importe de ne pas les confondre.

• Jusqu'au troisième ouvrier, le produit marginal croît (10, puis 14, puis 15). La phase de rendements marginaux décroissants n'a pas encore commencé dans ce tableau.
• Du quatrième au septième, il décroît (13, 10, 7, 4) tout en restant positif : ce sont les rendements décroissants proprement dits. On remarquera que la récolte totale, elle, continue de monter — de 39 à 73 quintaux. Décroissance du marginal ne veut pas dire baisse de la production.
• Au huitième, le produit marginal devient négatif : la récolte totale recule, de 73 à 72. Cette phase est distincte de la précédente ; la loi ne l'affirme pas. Elle dit que le produit marginal décroît, pas qu'il passe sous zéro.

Le maximum du produit total, ici 73 quintaux, est atteint au dernier ouvrier dont le produit marginal reste positif — le septième, dont l'apport est encore de 4 quintaux. Le total ne peut en effet que reculer dès qu'on lui ajoute une quantité négative.

Produit marginal et produit moyen FAIT

Le tableau montre une régularité qui n'a rien d'économique : elle est vraie de toute moyenne.

Tant que le produit marginal dépasse le produit moyen, il tire la moyenne vers le haut. Dès qu'il passe en dessous, il la tire vers le bas. Le produit moyen cesse donc de progresser là où le produit marginal le rejoint puis le traverse : ici, la valeur maximale 13,0 est atteinte aux troisième et quatrième ouvriers, et c'est au quatrième que $\mathrm{Pm} = \mathrm{PM} = 13$Pm=PM=13.

C'est la propriété familière de toute moyenne : une note supérieure à sa moyenne la fait monter, une note inférieure la fait descendre, une note égale la laisse en place. Rien de plus n'est invoqué ici.

Deux réserves accompagnent cette lecture. La coïncidence exacte entre le croisement et le maximum est un résultat du calcul différentiel — la dérivée de $Q/L$Q/L s'annule précisément quand $\mathrm{Pm} = \mathrm{PM}$Pm=PM — et ne vaut qu'approximativement sur un tableau d'entiers, où le maximum peut s'étaler sur un plateau, comme c'est le cas ici. Par ailleurs, l'égalité des deux grandeurs au premier ouvrier ($\mathrm{Pm} = \mathrm{PM} = 10$Pm=PM=10) est une identité sans portée : avec un seul ouvrier, la moyenne est le marginal.

Cette distinction a une conséquence pratique. Le produit moyen peut se maintenir alors que la loi des rendements décroissants s'applique déjà : entre le troisième et le quatrième ouvrier, le produit marginal a chuté de 15 à 13, tandis que le produit moyen tient à 13,0. Observer une productivité moyenne stable ne prouve donc pas que les rendements ne décroissent pas.

Du produit marginal au coût marginal FAIT

C'est ici que la loi rejoint la formation des prix. Supposons le travail seul facteur variable, payé au même salaire $w$w quel que soit le nombre d'ouvriers embauchés — l'employeur subit le salaire du marché sans l'influencer — et traitons le travail comme divisible, approximation qui autorise l'écriture continue là où le tableau ne compte que des ouvriers entiers.

Obtenir une unité de production supplémentaire exige alors $1/\mathrm{Pm}$1/Pm ouvrier supplémentaire ; elle coûte donc

$\mathrm{Cm} = \frac{w}{\mathrm{Pm}}$Cm=Pmw​

où $\mathrm{Cm}$Cm est le coût marginal, c'est-à-dire le coût d'une unité supplémentaire au voisinage du point considéré. Sous ces hypothèses et tant que $\mathrm{Pm}>0$Pm>0, le coût marginal varie en raison inverse du produit marginal, à un facteur $w$w près : quand l'un décroît, l'autre croît.

Avec un salaire de 100 € par ouvrier :

Dans cet exemple, le coût marginal décrit une courbe en U parce que le produit marginal augmente d'abord, atteint un maximum, puis diminue. La loi explique la remontée du coût marginal lorsque le produit marginal positif décroît ; elle n'impose pas une phase descendante préalable. À partir du quatrième ouvrier dans ce tableau, produire davantage coûte de plus en plus cher par unité, sans hausse du salaire : le renchérissement provient de la baisse du produit marginal.

De là le lien avec la courbe d'offre. Un producteur qui subit le prix du marché n'accepte de fournir une unité de plus que si ce prix couvre ce qu'elle lui coûte ; comme ce coût monte avec la quantité dans la phase de rendements décroissants, il faut un prix plus élevé pour obtenir une quantité plus grande. Dans ce modèle de court terme, la baisse du produit marginal fait croître le coût marginal et donc, pour une firme preneuse de prix, la portion pertinente de sa courbe d'offre.

Trois réserves bornent cette conclusion. Le raisonnement suppose un producteur preneur de prix. En concurrence imparfaite — notamment pour un monopole — il n'existe généralement pas de courbe d'offre indépendante de la demande, car prix et quantité sont choisis conjointement. Pour une firme parfaitement concurrentielle, seule la portion du coût marginal située au-dessus du minimum du coût variable moyen constitue sa courbe d'offre de court terme. Au niveau du marché, la pente de l'offre dépend aussi de la diversité des coûts entre producteurs, que ce raisonnement ignore.

Ne pas confondre avec les rendements d'échelle FAIT

L'objection vient naturellement : supposons qu'une usine double ses machines et ses ouvriers et que sa production double également. La loi serait-elle fausse ? Non — la question posée n'est pas la même.

Les deux notions ne sont donc pas équivalentes, et se rencontrent sans peine ensemble dans une même technologie. Soit la fonction de production $Q = L^{1/2}K^{1/2}$Q=L1/2K1/2, où $K$K désigne le capital. Multiplier les deux facteurs par $t$t donne

$(tL)^{1/2}(tK)^{1/2} = t\,L^{1/2}K^{1/2} = tQ$(tL)1/2(tK)1/2=tL1/2K1/2=tQ

soit exactement des rendements d'échelle constants : doubler tout double la production. Pourtant, à capital $\bar K$Kˉ fixé, le produit marginal du travail $\partial Q/\partial L = \tfrac{1}{2}L^{-1/2}\bar K^{1/2}$∂Q/∂L=21​L−1/2Kˉ1/2 décroît strictement en $L$L, et cela dès la première unité.

Ce que l'exemple établit est précis et suffit à réfuter l'objection : des rendements d'échelle constants n'interdisent nullement un produit marginal décroissant lorsqu'un facteur est maintenu fixe. Il ne prouve pas que toutes les technologies à rendements d'échelle constants possèdent cette propriété ; par exemple, $Q=L+K$Q=L+K a aussi des rendements d'échelle constants, mais un produit marginal du travail égal à 1.

Dans une formulation différentiable, l'hypothèse affirme qu'il existe un seuil $L^{*}$L∗ à partir duquel $\partial^{2} Q/\partial L^{2} < 0$∂2Q/∂L2<0, la quantité des autres facteurs étant maintenue fixe. Sur un tableau d'entiers, cela correspond à des différences marginales qui diminuent au-delà du seuil. C'est une propriété de la fonction de production à facteurs fixes, pas de son comportement lorsque tous les facteurs changent ensemble.

Le statut de la loi FAIT

Malgré son nom, la loi n'est pas un théorème déduit d'axiomes : c'est une hypothèse de production à court terme dont la validité dépend de la technologie étudiée. Une production bornée interdit seulement que le produit marginal reste indéfiniment supérieur à un seuil positif ; elle ne suffit pas à démontrer une décroissance monotone après un certain point.

Le seuil $L^{*}$L∗ ne se déduit donc pas d'un principe général : il se mesure ou s'estime pour une technologie et un domaine de fonctionnement donnés. Dans le tableau construit ici, la décroissance commence au quatrième ouvrier ; une autre organisation, un autre capital fixe ou une innovation pourraient modifier, conserver ou supprimer ce seuil dans le domaine observé.

Ce que la loi suppose — et ce qu'elle ne dit pas FAIT

• Les autres facteurs restent fixes pendant la variation marginale. C'est la condition nécessaire pour attribuer au facteur étudié la variation de production mesurée. Plus généralement, le court terme se définit comme l'horizon sur lequel au moins un facteur ne peut être ajusté ; l'expérience marginale décrite ici maintient cependant constants tous les facteurs autres que celui que l'on fait varier.
• La technologie ne change pas. Une innovation modifie la fonction de production à laquelle l'hypothèse s'applique. Une récolte qui progresse d'une génération à l'autre ne suffit donc pas à réfuter la loi, car les deux observations peuvent ne pas porter sur la même fonction.
• Les unités du facteur variable sont homogènes. Si les ouvriers ajoutés sont de moins en moins qualifiés, cette hétérogénéité peut faire varier le produit marginal et brouiller la mesure. L'observation seule n'isole alors pas l'effet des facteurs fixes. La loi suppose des unités interchangeables afin que la variation soit attribuable, dans le modèle, à la combinaison productive plutôt qu'à un changement de qualité du facteur variable.
• Les facteurs sont employés efficacement. Le tableau compare des points où l'on tire de chaque combinaison le maximum possible. Une décroissance due à une mauvaise organisation ne relève pas de la loi.

Elle ne dit rien, enfin, du niveau souhaitable. Savoir jusqu'où pousser le facteur variable exige de comparer ce que rapporte l'unité supplémentaire à ce qu'elle coûte — donc des prix, absents de l'énoncé. Les rendements décroissants décrivent une technologie ; ils ne prescrivent aucune quantité.

Résumé

À technologie inchangée, augmenter un facteur tandis que les autres restent fixes finit souvent par réduire son produit marginal ; s'il est le seul facteur variable, payé à prix constant, et tant que son produit marginal reste positif, cette baisse accroît le coût marginal.

Références principales FAIT

• OpenStax — Production in the Short Run
• OpenStax — Costs in the Long Run
• OpenStax — Marginal Cost and the Firm's Supply Curve
• MIT OpenCourseWare — Production and Cost