La probabilité est une mesure entre 0 et 1 sur les événements ; trois axiomes suffisent à en déduire tout le reste.

La probabilité

Définition

Une probabilité est un nombre attaché à un événement, compris entre 0 et 1, qui mesure la part qu'il occupe parmi tous les résultats possibles.

L'ensemble de ces résultats forme l'univers, noté $\Omega$ . Un événement en est une partie : « le dé donne un nombre pair » est le sous-ensemble $\{2, 4, 6\}$ .

Les trois axiomes

Tout le calcul des probabilités repose sur trois énoncés, et sur rien d'autre :

Axiome	Énoncé	Ce qu'il impose
Positivité	$P(A) \geq 0$	Une probabilité n'est jamais négative
Masse totale	$P(\Omega) = 1$	Quelque chose se produit forcément
Additivité	$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ si $A \cap B = \emptyset$	Des événements incompatibles s'additionnent

Le troisième s'étend aux réunions dénombrables, ce qui suffit à traiter les univers infinis.

Ce qu'on en déduit

Ces trois règles ne sont pas un point de départ arbitraire : elles engendrent les identités usuelles.

$P(\bar{A}) = 1 - P(A) \qquad P(\emptyset) = 0 \qquad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

La dernière corrige le double comptage : additionner $P(A)$ et $P(B)$ compte deux fois ce qui appartient aux deux, il faut donc le retrancher une fois. L'additivité seule ne s'applique qu'aux événements disjoints.

Conditionner, et l'indépendance

Savoir que $B$ s'est produit change la part occupée par $A$ . On restreint alors l'univers à $B$ :

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0$

Deux événements sont indépendants quand cette restriction ne change rien : $P(A \mid B) = P(A)$ , ce qui équivaut à $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$ .

L'indépendance est une propriété numérique, pas une intuition. Deux événements peuvent être sans lien causal et pourtant dépendants, et l'inverse se rencontre aussi.

Ce que les axiomes ne disent pas

Le formalisme fixe les règles de calcul et se tait sur leur sens. Deux lectures cohabitent : la fréquentiste, où une probabilité est la limite d'une fréquence sur des répétitions ; la bayésienne, où elle mesure un degré de croyance révisable.

Les deux obéissent aux mêmes trois axiomes et produisent les mêmes nombres. Leur désaccord porte sur l'interprétation, non sur le calcul.

Résumé

Trois axiomes fondent tout le calcul des probabilités, et aucun ne dit ce qu'une probabilité signifie.