Le nombre réel

Définition

Un nombre réel est un point de la droite continue. Entiers, fractions, racines et $\pi$π y tiennent tous une place, sans qu'aucune position ne reste vide.

C'est cette absence de trou qui définit l'ensemble $\mathbb{R}$R, bien plus que la liste des nombres qu'il contient.

Ce que chaque élargissement apporte

Chaque étage répare un manque de l'étage précédent. Le dernier est d'une autre nature : il ne s'agit plus d'une opération qui échoue, mais d'une suite qui n'a nulle part où aboutir.

Le trou des rationnels

Aucune fraction n'a 2 pour carré. Supposons $p/q$p/q irréductible avec $(p/q)^2 = 2$(p/q)2=2 : alors $p^2 = 2q^2$p2=2q2, donc $p$p est pair, donc $p = 2m$p=2m, donc $4m^2 = 2q^2$4m2=2q2, donc $q$q est pair lui aussi. Les deux sont pairs, contre l'hypothèse d'irréductibilité.

$\sqrt{2}$2​ existe pourtant : c'est la diagonale du carré de côté 1. Les rationnels laissent donc un trou à un endroit parfaitement constructible.

La complétude

La propriété qui distingue $\mathbb{R}$R tient en une phrase : toute partie non vide et majorée admet une borne supérieure.

Prenons l'ensemble des rationnels dont le carré est inférieur à 2. Il est non vide, il est majoré — mais dans $\mathbb{Q}$Q, il n'a pas de plus petit majorant : on peut toujours en trouver un plus serré. Dans $\mathbb{R}$R, ce plus petit majorant existe, et c'est $\sqrt{2}$2​.

Cette propriété caractérise $\mathbb{R}$R : à isomorphisme près, il est le seul corps totalement ordonné complet.

Une infinité plus grande

Les rationnels se numérotent : on peut les ranger en une liste indexée par les entiers. Les réels, non — aucune liste ne les épuise.

L'infini des réels est donc strictement plus vaste que celui des rationnels, alors que les seconds sont partout denses parmi les premiers : entre deux réels distincts, aussi proches soient-ils, il se glisse toujours un rationnel.

Résumé

Le réel est le rationnel complété : le passage à la limite y aboutit toujours.