Un nombre réel est un point de la droite continue ; ce qui le distingue du rationnel, c'est qu'il ne laisse aucun trou.

Le nombre réel

Définition FAIT

Un nombre réel est un point de la droite continue. Entiers, fractions, racines et $\pi$ y tiennent tous une place, sans qu'aucune position ne reste vide.

C'est cette absence de trou qui définit l'ensemble $\mathbb{R}$ , bien plus que la liste des nombres qu'il contient.

Ce que chaque élargissement apporte FAIT

Ensemble	Contient	Rend possible
$\mathbb{N}$	0, 1, 2, …	Compter
$\mathbb{Z}$	… , −1, 0, 1, …	Soustraire sans sortir
$\mathbb{Q}$	Les fractions $p/q$	Diviser sans sortir
$\mathbb{R}$	Les points de la droite	Passer à la limite sans sortir

Chaque étage répare un manque de l'étage précédent. Le dernier est d'une autre nature : il ne s'agit plus d'une opération qui échoue, mais d'une suite qui n'a nulle part où aboutir.

Le trou des rationnels FAIT

Aucune fraction n'a 2 pour carré. Supposons $p/q$ irréductible avec $(p/q)^2 = 2$ : alors $p^2 = 2q^2$ , donc $p$ est pair, donc $p = 2m$ , donc $4m^2 = 2q^2$ , donc $q$ est pair lui aussi. Les deux sont pairs, contre l'hypothèse d'irréductibilité.

$\sqrt{2}$ existe pourtant : c'est la diagonale du carré de côté 1. Les rationnels laissent donc un trou à un endroit parfaitement constructible.

La complétude FAIT

La propriété qui distingue $\mathbb{R}$ tient en une phrase : toute partie non vide et majorée admet une borne supérieure.

Prenons l'ensemble des rationnels dont le carré est inférieur à 2. Il est non vide, il est majoré — mais dans $\mathbb{Q}$ , il n'a pas de plus petit majorant : on peut toujours en trouver un plus serré. Dans $\mathbb{R}$ , ce plus petit majorant existe, et c'est $\sqrt{2}$ .

Cette propriété caractérise $\mathbb{R}$ : à isomorphisme près, il est le seul corps totalement ordonné complet.

Une infinité plus grande FAIT

Les rationnels se numérotent : on peut les ranger en une liste indexée par les entiers. Les réels, non — aucune liste ne les épuise.

L'infini des réels est donc strictement plus vaste que celui des rationnels, alors que les seconds sont partout denses parmi les premiers : entre deux réels distincts, aussi proches soient-ils, il se glisse toujours un rationnel.

Résumé

Le réel est le rationnel complété : le passage à la limite y aboutit toujours.