La limite
Définition FAIT
Une fonction f tend vers L quand x tend vers a si l'on peut rendre f(x) aussi proche de L qu'on veut, en prenant x assez proche de a.
Le point a lui-même est exclu. C'est là toute la portée de la notion : la limite décrit un voisinage, pas une valeur.
Ce que la définition doit interdire FAIT
« Aussi proche qu'on veut » n'est pas une phrase de mathématiques tant qu'on ne dit pas qui choisit, et dans quel ordre. La formulation dite ε–δ fixe les deux :
∀ε>0, ∃δ>0:0<∣x−a∣<δ⟹∣f(x)−L∣<ε
L'adversaire impose d'abord une marge ε sur l'arrivée ; il faut alors produire une marge δ sur le départ qui la garantisse. L'ordre des quantificateurs est l'énoncé : δ dépend de ε, jamais l'inverse.
Le cas qui justifie tout FAIT
Considérons f(x)=x−1x2−1.
En x=1, l'expression n'a pas de sens : le dénominateur s'annule. Pourtant, pour tout x=1, on peut simplifier :
x−1x2−1=x−1(x−1)(x+1)=x+1
La fonction vaut donc x+1 partout sauf en 1, où elle n'est pas définie. Sa limite en 1 est 2 — une valeur que la fonction n'atteint jamais.
Trois comportements FAIT
| En un point | Exemple | Comportement |
|---|---|---|
| Converge | x−1x2−1 en 1 | Tend vers 2 |
| Diverge | x1 en 0 | Croît sans borne |
| Oscille | sin(x1) en 0 | Ne se stabilise sur aucune valeur |
Les deux derniers n'ont pas de limite. Diverger et osciller sont deux façons distinctes d'échouer : la première a une direction, la seconde n'en a aucune.
La continuité en découle FAIT
Une fonction est continue en a lorsque trois conditions tiennent ensemble : f(a) existe, la limite en a existe, et les deux coïncident.
x→alimf(x)=f(a)
La fonction de la section précédente échoue sur la première : sa limite existe, sa valeur non. On peut la rendre continue en posant f(1)=2 — c'est ce qu'on appelle un prolongement par continuité.
Résumé
La limite dit vers quoi une fonction tend, indépendamment de ce qu'elle vaut au point.