La limite

Définition

Une fonction $f$f tend vers $L$L quand $x$x tend vers $a$a si l'on peut rendre $f(x)$f(x) aussi proche de $L$L qu'on veut, en prenant $x$x assez proche de $a$a.

Le point $a$a lui-même est exclu. C'est là toute la portée de la notion : la limite décrit un voisinage, pas une valeur.

Ce que la définition doit interdire

« Aussi proche qu'on veut » n'est pas une phrase de mathématiques tant qu'on ne dit pas qui choisit, et dans quel ordre. La formulation dite $\varepsilon$ε–$\delta$δ fixe les deux :

$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \implies |f(x) - L| < \varepsilon$∀ε>0, ∃δ>0:0<∣x−a∣<δ⟹∣f(x)−L∣<ε

L'adversaire impose d'abord une marge $\varepsilon$ε sur l'arrivée ; il faut alors produire une marge $\delta$δ sur le départ qui la garantisse. L'ordre des quantificateurs est l'énoncé : $\delta$δ dépend de $\varepsilon$ε, jamais l'inverse.

Le cas qui justifie tout

Considérons $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$f(x)=x−1x2−1​.

En $x = 1$x=1, l'expression n'a pas de sens : le dénominateur s'annule. Pourtant, pour tout $x \neq 1$x=1, on peut simplifier :

$\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x - 1} = x + 1$x−1x2−1​=x−1(x−1)(x+1)​=x+1

La fonction vaut donc $x + 1$x+1 partout sauf en 1, où elle n'est pas définie. Sa limite en 1 est 2 — une valeur que la fonction n'atteint jamais.

Trois comportements

Les deux derniers n'ont pas de limite. Diverger et osciller sont deux façons distinctes d'échouer : la première a une direction, la seconde n'en a aucune.

La continuité en découle

Une fonction est continue en $a$a lorsque trois conditions tiennent ensemble : $f(a)$f(a) existe, la limite en $a$a existe, et les deux coïncident.

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$x→alim​f(x)=f(a)

La fonction de la section précédente échoue sur la première : sa limite existe, sa valeur non. On peut la rendre continue en posant $f(1) = 2$f(1)=2 — c'est ce qu'on appelle un prolongement par continuité.

Résumé

La limite dit vers quoi une fonction tend, indépendamment de ce qu'elle vaut au point.