L'intérêt composé

Définition FAIT

Cent euros prêtés au taux de 5 % par an rapportent 5 € la première année. Reste à décider du sort de ces 5 €. Si on les retire, le capital prêté demeure 100 € et la deuxième année rapportera encore 5 €. Si on les laisse en place, le capital devient 105 € et la deuxième année rapporte 5,25 € — car l'intérêt de la première année produit désormais de l'intérêt lui aussi.

L'intérêt composé est l'intérêt calculé sur un capital auquel les intérêts des périodes précédentes ont été ajoutés. Cette addition porte un nom : la capitalisation.

Le mécanisme est donc entièrement contenu dans une règle de gestion des intérêts échus : les verser au bénéficiaire, ou les incorporer au capital. Rien d'autre ne distingue les deux modes de calcul.

Intérêt simple et intérêt composé FAIT

Notons $C$C le capital initial, $i$i le taux par période exprimé en fraction (5 % s'écrit $0{,}05$0,05) et $n$n le nombre de périodes.

À intérêt simple, chaque période rapporte le même montant $Ci$Ci, toujours calculé sur le capital initial :

$V_n = C\,(1 + n\,i)$Vn​=C(1+ni)

À intérêt composé, chaque période multiplie la somme acquise par le même facteur $1+i$1+i — la raison de la progression :

$V_n = C\,(1 + i)^n$Vn​=C(1+i)n

Les deux modes coïncident sur une période, puisqu'aucun intérêt n'a encore pu être capitalisé. C'est la durée qui les sépare, et l'écart n'est pas anodin. Pour 100 € à 5 % par an :

Dès que le taux est positif, le rapport entre les deux colonnes croît sans borne avec $n$n : le numérateur $(1+i)^n$(1+i)n croît géométriquement, de raison $1+i > 1$1+i>1, quand le dénominateur $1+ni$1+ni ne croît que de façon affine. Aucune durée ne borne donc l'avance de la capitalisation — elle continue de s'élargir aussi longtemps que le capital reste en place.

Pourquoi la progression est géométrique FAIT

La valeur au terme d'une période s'obtient toujours de la même façon à partir de celle de la période précédente :

$V_{k+1} = V_k + i\,V_k = V_k\,(1+i)$Vk+1​=Vk​+iVk​=Vk​(1+i)

L'intérêt produit à chaque période est proportionnel à la somme présente, et cette somme s'accroît : le montant gagné croît donc avec elle, alors qu'il restait figé à intérêt simple. Comme le facteur $1+i$1+i ne dépend ni de $k$k ni de $V_k$Vk​, appliquer la relation $n$n fois de suite donne $V_n = C(1+i)^n$Vn​=C(1+i)n — un raisonnement par récurrence, dont le pas est cette égalité et l'amorce $V_0 = C$V0​=C.

Cette propriété — un accroissement proportionnel à la quantité déjà présente — est la propriété caractéristique de la croissance exponentielle, dès lors que le coefficient de proportionnalité reste le même à chaque période. En temps discret, période par période, elle prend la forme d'une progression géométrique.

Le temps de doublement FAIT

Combien de périodes faut-il pour que le capital double ? Il suffit de résoudre $(1+i)^n = 2$(1+i)n=2 :

$n = \frac{\ln 2}{\ln(1+i)}$n=ln(1+i)ln2​

Ce nombre ne dépend pas du capital : doubler 100 € ou 100 millions demande le même temps, parce que la formule est multiplicative.

Comme $\ln 2 \approx 0{,}693$ln2≈0,693 et que $\ln(1+i) \approx i$ln(1+i)≈i pour de petits taux, on obtient d'abord $n \approx 69{,}3/(100\,i)$n≈69,3/(100i). L'usage relève ce nombre à 72, ce qui donne l'approximation dite règle de 72 : le temps de doublement vaut environ $72/(100\,i)$72/(100i), soit 72 divisé par le taux exprimé en pourcentage. Cette substitution est une commodité de calcul, non un résultat exact : 72 se divise par davantage d'entiers que 69 ou 70, les deux entiers qui encadrent 69,3. Le relèvement corrige par ailleurs le biais que laisse l'approximation $\ln(1+i) \approx i$ln(1+i)≈i — il l'annule autour de 8 %, le dépasse pour les taux plus faibles, et ne le comble pas tout à fait pour les taux plus élevés.

L'approximation est excellente autour de 8 % et se dégrade aux deux extrémités : elle surestime le délai pour les taux plus faibles et le sous-estime pour les taux plus élevés. C'est un instrument de calcul mental, pas un substitut à la formule.

La fréquence de capitalisation FAIT

Un taux annoncé ne suffit pas à déterminer un rendement : il faut savoir à quel rythme les intérêts sont incorporés au capital. Par convention, un taux nominal annuel $i$i capitalisé $m$m fois par an applique $m$m fois le taux périodique $i/m$i/m — rien ne l'impose mathématiquement, c'est un usage de place. Au terme d'une année, soit après $m$m périodes de capitalisation, le capital vaut donc :

$C\left(1 + \frac{i}{m}\right)^{m}$C(1+mi​)m

Le taux effectif annuel est l'accroissement réellement obtenu sur l'année, soit $(1+i/m)^m - 1$(1+i/m)m−1. Pour un taux nominal de 10 % :

À taux nominal positif, capitaliser plus souvent augmente donc le taux effectif. Deux taux nominaux ne sont ainsi comparables que ramenés à une même fréquence — ou convertis en taux effectifs.

Mais le gain s'épuise : la suite ne s'envole pas, elle converge. Sa limite quand $m$m croît indéfiniment définit la capitalisation continue :

$\lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{i}{m}\right)^{m} = e^{\,i}$m→∞lim​(1+mi​)m=ei

où $e \approx 2{,}71828$e≈2,71828 est le nombre remarquable obtenu au cas $i = 1$i=1, soit $\lim_{m \to \infty}(1+1/m)^m$limm→∞​(1+1/m)m. Ici $e^{0{,}1} \approx 1{,}105171$e0,1≈1,105171, soit 10,5171 % effectifs. Entre la capitalisation quotidienne et la capitalisation continue, il reste moins de deux millièmes de point de pourcentage : passé un certain rythme, augmenter la fréquence ne change presque plus rien.

Cette limite a un intérêt propre, que le calcul à $m$m fini ne donne pas : $e^{\,i}$ei ne dépend plus de $m$m. Elle fournit donc une référence unique, indépendante du rythme de capitalisation, et une écriture $C\,e^{\,iT}$CeiT — où $T$T est la durée comptée en années, soit $n = mT$n=mT périodes de capitalisation — qui se manipule plus simplement que $C(1+i/m)^{mT}$C(1+i/m)mT.

L'image de la boule de neige ANALOGIE

On décrit souvent la capitalisation comme une boule de neige : en roulant, elle ramasse de la neige, grossit, et sa surface accrue lui en fait ramasser davantage encore. L'image restitue fidèlement le trait essentiel — l'accroissement dépend de la taille déjà atteinte.

Elle cesse d'être fidèle sur un point : une pente réelle a une longueur, la neige une quantité finie, et la boule finit par s'arrêter ou se briser. La formule $C(1+i)^n$C(1+i)n, elle, ne comporte aucun terme de saturation : rien en elle ne borne la croissance. L'analogie éclaire le mécanisme, elle ne prouve rien et ne doit pas être prise pour une description des limites du mécanisme réel.

Ce que la formule suppose FAIT

L'égalité $V_n = C(1+i)^n$Vn​=C(1+i)n est exacte sous quatre conditions, et son résultat ne s'interprète correctement que sous deux autres.

Pour que la formule s'applique :

• Un taux constant sur tout l'horizon. Si le taux varie d'une période à l'autre, il faut multiplier les facteurs un par un : $V_n = C\,(1+i_1)(1+i_2)\cdots(1+i_n)$Vn​=C(1+i1​)(1+i2​)⋯(1+in​). La puissance n'en est que le cas particulier où tous les taux sont égaux.
• Une capitalisation effective. Des intérêts versés et retirés à chaque période relèvent de l'intérêt simple, quel que soit le nom donné au produit.
• Un capital laissé intact. Tout apport ou retrait de capital en cours de route sort de la formule : chaque flux doit alors être capitalisé séparément, depuis sa propre date.
• Des prélèvements proportionnels seulement. Un frais fixe par période fait sortir la valeur de la forme $C(1+i)^n$C(1+i)n, puisqu'on retranche alors un montant que le facteur ne peut pas absorber. Un prélèvement proportionnel, lui, préserve la forme — mais change le taux à employer, comme le dit la condition suivante.

Pour que le résultat veuille dire quelque chose :

• Le bon taux. Frais et impôts proportionnels prélevés à chaque période réduisent le facteur : c'est le taux net qui doit figurer dans la formule. L'écart entre le brut et le net se creuse alors avec la durée, leur rapport croissant comme la puissance $n$n-ième de $(1+i)/(1+i_{\mathrm{net}})$(1+i)/(1+inet​).
• Une unité de mesure stable. Un rendement de 5 % en euros courants, lorsque les prix augmentent de 3 %, ne laisse pas 2 % de pouvoir d'achat supplémentaire, mais $1{,}05/1{,}03 - 1 \approx 1{,}94\,\%$1,05/1,03−1≈1,94% : les taux se composent, ils ne s'additionnent pas. La soustraction n'en est qu'une approximation, d'autant plus grossière que les taux sont élevés. (Le mot nominal prend ici un second sens — avant correction de l'inflation, par opposition à un rendement réel — à ne pas confondre avec le taux nominal de la section sur la fréquence de capitalisation, qui s'oppose au taux effectif.)

Deux remarques enfin. Le mécanisme est indifférent au sens du prêt : une dette dont les intérêts non payés s'ajoutent au capital croît selon exactement la même formule. Et si $i$i est compris entre $-1$et$et0$, le facteur $1+i$1+i est compris entre 0 et 1 : la même progression géométrique décrit alors une érosion, de plus en plus lente en valeur absolue.

Résumé

L'intérêt composé fait porter l'intérêt sur les intérêts déjà acquis : la somme suit une progression géométrique de raison $1+i$1+i, dont l'avance sur l'intérêt simple, dès que le taux est positif, s'accroît sans borne avec la durée.