1. Objectifs et prérequis

Prérequis : ensembles et nombres réels. À la fin, vous saurez définir une fonction, évaluer f(x), lire images et antécédents, relier plusieurs représentations et choisir un domaine cohérent.

2. Définition : une entrée, une sortie

Une fonction f d'un ensemble D vers un ensemble d'arrivée associe à chaque x de D exactement une sortie, notée f(x). Plusieurs entrées peuvent partager une sortie ; une même entrée ne peut pas avoir deux sorties différentes.

3. Domaine, image et antécédent

Le domaine D contient les entrées autorisées. L'image de x est f(x). Un antécédent de y est un x tel que f(x)=y. Le contexte peut restreindre le domaine : une distance de trajet n'est pas négative, même si une formule accepte des nombres négatifs.

4. Quatre représentations d'une même relation

Une même fonction peut être décrite par une phrase, une formule, un tableau ou un graphique. Changer de représentation ne change pas la règle. Le graphe de f est l'ensemble des points (x,f(x)).

5. Exemple résolu

Pour f(x)=2x+3 sur les réels, f(2)=7 ; le point (2,7) appartient au graphe. Résoudre f(x)=7 donne 2x+3=7, donc x=2.

6. Mise en pratique

6.1. Évaluer et lire une fonction

Soit f(x)=2x+3. Calcule f(-2), f(0) et f(4), puis trouve l'antécédent de 7. Présente les résultats dans un tableau entrée-sortie.

Correction guidée. f(-2)=-1, f(0)=3, f(4)=11 et l'antécédent de 7 est x=2. Le tableau distingue clairement entrées et sorties.

6.2. Modéliser un tarif de trajet

Un trajet coûte 4 € de prise en charge puis 1,80 € par kilomètre. Définis C(d), précise un domaine réaliste, calcule C(0), C(2) et C(5), puis représente ces points et explique le sens de 1,80 et de 4.

Critères de réussite. C(d)=4+1,8d avec d≥0 dans le modèle choisi ; C(0)=4, C(2)=7,6 et C(5)=13. 1,80 est le coût par km et 4 le coût fixe.

6.3. Reconnaître une fonction et interpréter ses valeurs

Une table associe -1→3, 0→1, 1→1 et 2→3. Dis si elle définit une fonction, donne la sortie pour 2 et les antécédents de 1. Explique pourquoi une relation qui associerait 0→1 et 0→4 ne serait pas une fonction.

Critères de réussite. La justification applique la règle « une seule sortie par entrée », lit correctement la table et distingue le fait que plusieurs entrées peuvent partager la même sortie.

7. Approfondissement : ce qu’une fonction encode

7.1. Relation ou fonction ?

Une relation peut associer des objets sans être une fonction. Le critère décisif porte sur les entrées : chaque entrée du domaine doit avoir exactement une sortie. Une table où la même entrée apparaît avec deux sorties différentes échoue donc immédiatement. Sur un graphique usuel y=f(x), la même idée se lit avec le test de la droite verticale : si une verticale coupe le graphe en plusieurs points, une même valeur de x possède plusieurs sorties et le dessin ne représente pas une fonction de x.

L’inverse n’est pas exigé : deux entrées différentes peuvent parfaitement avoir la même image. La fonction carré en fournit un exemple simple, car (-2)² et 2² valent tous deux 4.

7.2. Domaine, ensemble d’arrivée et image

Trois ensembles sont souvent confondus. Le domaine contient les entrées autorisées. L’ensemble d’arrivée est l’ensemble dans lequel les sorties sont annoncées. L’image de la fonction est seulement la partie de cet ensemble réellement atteinte. Par exemple, f(x)=x² peut être décrite de R vers R, mais son image est [0,+∞[. Cette distinction devient importante lorsqu’on cherche des antécédents ou lorsqu’on veut inverser une fonction.

Le domaine ne vient pas toujours de la formule seule. Pour g(x)=1/(x-2), x=2 est interdit par le calcul. Dans un modèle de durée, de masse ou de distance, le contexte peut imposer d’autres restrictions même si la formule accepte davantage de nombres.

7.3. Fonctions définies par morceaux et changement de représentation

Une règle peut changer selon la zone du domaine. Un tarif peut être constant jusqu’à un seuil puis devenir affine ; cela reste une seule fonction si chaque entrée reçoit une seule sortie. Les représentations doivent raconter exactement la même histoire : une rupture dans la formule par morceaux doit apparaître dans le tableau et dans le graphe.

Passer d’une phrase à une formule, puis à un tableau ou à un graphe, est un moyen de contrôler son modèle. La formule facilite le calcul, le tableau montre des valeurs choisies, le graphe révèle la forme globale et le texte précise le sens des grandeurs et des unités. Aucune représentation ne remplace systématiquement les autres.

7.4. Lecture de graphe et erreurs fréquentes

Lire f(3)=5 signifie partir de l’abscisse 3, rejoindre le graphe puis lire l’ordonnée 5. Chercher les antécédents de 5 fait l’opération inverse : on part du niveau y=5 et on repère toutes les abscisses correspondantes. Il peut y en avoir zéro, une ou plusieurs.

Erreurs fréquentes : confondre f(x) avec f multiplié par x ; traiter l’ensemble d’arrivée comme s’il était forcément égal à l’image ; oublier une restriction de domaine ; croire que « plusieurs antécédents » interdit une fonction ; ou déduire une formule unique à partir de quelques points d’un tableau. Une fonction est d’abord une règle de correspondance définie sur un domaine, et non un style particulier de formule.

8. Résumé

Une fonction associe exactement une sortie à chaque entrée de son domaine. Sa formule, son tableau, son graphique et sa description sont des représentations d'une même relation.

9. Sources pédagogiques

• Ministère de l’Éducation nationale — programme de mathématiques de seconde 2026, section « Fonctions » : Bulletin officiel.
• California Department of Education — F-IF.1 et F-IF.2 : California Content Standards.

10. Note de révision

Leçon préparée le 20 septembre 2026 à partir de deux cadres officiels de pays différents. Texte et traductions préparés avec une IA ; aucun gain d'apprentissage mesuré n'est revendiqué.