Un ensemble regroupe des objets bien déterminés ; l'appartenance, l'inclusion et les opérations en décrivent la structure.

Les ensembles

Définition

Un ensemble est une collection d'objets bien déterminés, appelés ses éléments. On écrit par exemple

$A=\{2,4,6\}$

et $4\in A$ pour dire que 4 appartient à $A$ . À l'inverse, $5\notin A$ .

L'ordre et les répétitions ne changent pas un ensemble : $\{2,4,6\}$ , $\{6,4,2\}$ et $\{2,2,4,6\}$ désignent le même ensemble. Ce qui compte est uniquement la question : quels éléments appartiennent à la collection ?

Décrire un ensemble

On peut donner ses éléments en extension :

$B=\{a,e,i,o,u\}$

ou les définir par une propriété :

$C=\{n\in\mathbb{N}\mid n<5\}=\{0,1,2,3,4\}$

Ici, on adopte la convention $0\in\mathbb{N}$ . La barre verticale se lit « tel que ». La propriété doit décider sans ambiguïté si un objet appartient à l'ensemble.

Ensemble vide, égalité et cardinal

L'ensemble vide, noté $\varnothing$ , ne contient aucun élément. Il ne faut pas le confondre avec $\{\varnothing\}$ , qui contient un élément : l'ensemble vide lui-même.

Deux ensembles sont égaux s'ils ont exactement les mêmes éléments. Pour un ensemble fini $A$ , son cardinal $|A|$ est son nombre d'éléments. Ainsi, si $A=\{2,4,6\}$ , alors $|A|=3$ .

Inclusion et sous-ensembles

On écrit $A\subseteq B$ lorsque tout élément de $A$ appartient aussi à $B$ . Par exemple,

$\{2,4\}\subseteq\{1,2,3,4\}$

L'appartenance et l'inclusion ne sont pas la même relation : $2\in A$ compare un objet à un ensemble ; $A\subseteq B$ compare deux ensembles.

Tout ensemble est inclus dans lui-même et l'ensemble vide est inclus dans tout ensemble.

Trois opérations fondamentales

Soient $A=\{1,2,3\}$ et $B=\{3,4\}$ .

Opération	Sens	Résultat
Union $A\cup B$	Éléments dans $A$ ou dans $B$	$\{1,2,3,4\}$
Intersection $A\cap B$	Éléments communs à $A$ et $B$	$\{3\}$
Différence $A\setminus B$	Éléments de $A$ qui ne sont pas dans $B$	$\{1,2\}$

Le mot « ou » de l'union est inclusif : un élément présent dans les deux ensembles appartient bien à l'union, mais il n'y apparaît qu'une fois.

Si un ensemble universel $U$ est fixé, le complémentaire de $A$ dans $U$ est $U\setminus A$ . Sans univers explicitement choisi, « le complémentaire de $A$ » est incomplet.

Les diagrammes aident, mais ne définissent pas

Un diagramme de Venn représente des ensembles par des régions. Le chevauchement visualise l'intersection et l'ensemble des régions visualise l'union. C'est une aide de raisonnement, pas la définition : une preuve doit revenir aux conditions d'appartenance.

Pour montrer $A\cap B\subseteq A$ , on prend un élément arbitraire $x\in A\cap B$ . Par définition de l'intersection, $x\in A$ et $x\in B$ ; donc $x\in A$ . L'inclusion est démontrée.

Pourquoi cette abstraction est utile

Les ensembles donnent un vocabulaire commun aux mathématiques et à l'informatique. Un domaine de valeurs, les résultats d'une requête, les sommets d'un graphe ou les cas acceptés par une règle peuvent être traités comme des ensembles. Les relations deviennent alors des ensembles de couples et les fonctions s'appuient sur un ensemble de départ et un ensemble d'arrivée.

Cette idée est donc un prérequis direct à l'étude des relations, fonctions, bases de données, probabilités et graphes.

Résumé

Un ensemble est déterminé par ses éléments : l'appartenance relie un objet à un ensemble ; l'inclusion compare deux ensembles ; union, intersection et différence construisent de nouveaux ensembles.

Références pédagogiques