1. Objectif et prérequis

Prérequis : savoir calculer un taux de variation entre deux points et comprendre une limite simple. L’objectif est de construire la dérivée à partir de ces deux idées, puis de l’interpréter comme une pente et comme une variation instantanée.

À la fin, tu dois pouvoir expliquer d’où vient le quotient différentiel, calculer une dérivée simple par premiers principes et écrire l’équation d’une tangente.

2. Des sécantes à la tangente

Pour une fonction f et un point d’abscisse a, choisissons un second point d’abscisse a+h. Le taux de variation entre ces deux points est

(f(a+h)-f(a))/h, avec h≠0.

Géométriquement, c’est la pente de la sécante passant par (a,f(a)) et (a+h,f(a+h)). Quand h devient de plus en plus petit, le second point se rapproche du premier. Si les pentes des sécantes se rapprochent d’une valeur unique, cette valeur décrit la pente locale de la courbe.

3. Définition du nombre dérivé

On dit que f est dérivable en a si la limite

f'(a)=lim_{h→0}(f(a+h)-f(a))/h

existe et est finie. Le nombre f'(a) est le nombre dérivé de f en a.

Cette définition est locale : elle ne dit pas que la fonction est linéaire autour de a. Elle dit que, à une échelle suffisamment petite, la variation de f est bien approchée par une droite de pente f'(a).

4. Sens géométrique et équation de tangente

La tangente au graphe de f au point A=(a,f(a)) est la droite de pente f'(a). Son équation est

y=f(a)+f'(a)(x-a).

Le signe de f'(a) donne une information locale : positif, la courbe monte au voisinage du point ; négatif, elle descend ; nul, la tangente est horizontale. Une dérivée nulle ne suffit toutefois pas, à elle seule, à affirmer qu’il existe un maximum ou un minimum.

5. Exemple résolu par premiers principes

Prenons f(x)=x² et a=2.

(f(2+h)-f(2))/h = ((2+h)²-4)/h.

En développant : (4+4h+h²-4)/h=(4h+h²)/h=4+h pour h≠0.

Quand h tend vers 0, 4+h tend vers 4. Donc f'(2)=4.

La tangente passe par (2,4) avec une pente 4 :

y=4+4(x-2)=4x-4.

Le calcul montre la logique de la dérivée sans utiliser au préalable la règle (x²)'=2x.

6. Variation instantanée et unités

Si f représente une position en mètres et l’entrée un temps en secondes, un taux de variation moyen a pour unité m/s. La dérivée conserve cette interprétation d’unité, mais à l’échelle instantanée.

La dérivée ne mesure pas directement « ce qui se passe pendant un intervalle » : elle est la valeur limite vers laquelle convergent les taux moyens quand l’intervalle se resserre autour du point.

7. Pratique

7.1. Calculer par premiers principes

Pour f(x)=x², calcule f'(3) à partir de la limite de (f(3+h)-f(3))/h lorsque h tend vers 0. Développe, simplifie avant de prendre la limite et interprète le résultat comme une pente.

Correction guidée. Le quotient se simplifie en 6+h pour h≠0, donc la limite vaut 6 ; la tangente en x=3 a une pente égale à 6.

7.2. Observer une vitesse instantanée

On modélise une position par s(t)=t² en mètres, avec t en secondes. Calcule les vitesses moyennes entre t=2 et t=2+h pour h=1, 0,5 et 0,1. Compare-les et explique ce que suggère leur rapprochement vers une valeur.

Critères de réussite. Les quotients sont calculés avec les bons intervalles, les unités m/s sont présentes et l’interprétation distingue moyenne sur un intervalle et valeur instantanée limite.

7.3. Retrouver une dérivée sans règle toute faite

Pour g(x)=x³, détermine g'(1) par premiers principes à partir de (g(1+h)-g(1))/h. Donne ensuite l’équation de la tangente au point d’abscisse 1 et justifie chaque étape.

Critères de réussite. La réponse développe le cube, factorise h avant la limite, obtient la bonne pente et construit la tangente à partir du point (1,1), sans invoquer directement la règle (x³)'=3x².

8. Synthèse

La dérivée en un point est une limite de taux de variation. Les taux correspondent à des pentes de sécantes ; leur limite donne la pente de la tangente. Cette même valeur peut décrire une variation instantanée, avec des unités héritées du contexte.

9. Sources curriculaires

• Ministère français de l’Éducation nationale — programme 2026 de première générale, section « Dérivation » : Bulletin officiel.
• UK Department for Education — GCE AS and A level Mathematics, section G « Differentiation » : official subject content.

10. Note de révision

Cours préparé le 26 septembre 2026 à partir de deux cadres officiels de pays différents. Les calculs ont été recomputés et les huit versions linguistiques relues en deux passes par le même modèle ; aucune validation humaine indépendante ni gain d’apprentissage mesuré n’est revendiqué.