Le chiffre

Définition FAIT

Un chiffre est un symbole servant à écrire les nombres. Le système décimal en compte exactement dix : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Le chiffre n'est pas la quantité : il est le signe qui la note.

Chiffre ou nombre FAIT

Le nombre 128 s'écrit avec trois chiffres : 1, 2 et 8. Le nombre 7 s'écrit avec un seul chiffre, qui porte le même nom que lui — d'où la confusion courante entre les deux mots.

Une analogie utile ANALOGIE

Les chiffres sont aux nombres ce que les lettres sont aux mots : un alphabet fini qui note un vocabulaire infini.

Elle a sa limite, comme toute analogie. Dans un mot, la place d'une lettre ne lui donne aucune valeur ; dans un nombre, la place d'un chiffre en fixe une, et précisément.

La notation positionnelle FAIT

Un chiffre vaut selon l'endroit où il est écrit :

$205 = 2 \times 10^2 + 0 \times 10^1 + 5 \times 10^0$205=2×102+0×101+5×100

Le chiffre 2 vaut deux dans 512 et deux cents dans 205. Seule sa position a changé.

Le zéro y tient un rôle propre : il n'ajoute aucune quantité, mais il occupe un rang. Sans lui, 205 et 25 s'écriraient de la même façon.

Tout système de numération ne fonctionne pas ainsi. La numération romaine est additive et soustractive, mais non positionnelle : X vaut dix dans XVI comme dans XIV, quel que soit son rang.

Changer de base FAIT

Le nombre de chiffres disponibles définit la base. Une base $b$b s'écrit avec exactement $b$b chiffres, de 0 à $b-1$b−1.

En base seize, il faut seize symboles : les dix chiffres usuels n'y suffisent pas, on emprunte donc des lettres. C'est le signe que « chiffre » désigne un rôle et non une forme — A est un chiffre en base seize.

Résumé

Le chiffre est le symbole, le nombre est la quantité ; et c'est la position du chiffre qui lui donne son poids.