货币的时间价值

定义

今天收到 1 000 €，还是一年后收到 1 000 €：两个金额写法相同，却并不是同一回事。今天的那一笔可以拿去投放，只要投放有收益，一年后它就值得更多。反向的操作也是可能的——把一笔预期在以后才到手的款项在今天取得，就是借款——而它的价格有着同样的来源：出借方所放弃的收益，所要求的利率不会低于它。

货币的时间价值是这样一条原理：一个金额只有与一个日期相联系才具有经济意义，而带有不同日期的两个金额，只有折算到同一个日期之后才能比较。只要替代用途带来正的收益，一笔更早可得的款项就比一笔更晚可得的款项更有价值。

因此，把两个日期不同的金额直接相加或相减，与把用不同单位表示的长度相加，是同一性质的错误。

这一差异的根源不在时间本身：它在于替代用途的存在。如果任何投放都不带来任何收益，两笔款项就会等值。正因为一笔可动用的资本能够被使用——而这种使用有收益——等待才有代价。因此货币的时间价值就是应用于时间表上的机会成本：等待的代价，就是它所迫使人放弃的最优用途的收益。

折现，资本化的逆运算

资本化把一笔款项乘以 $(1+i)^n$(1+i)n，从而把它送往未来。这里所提的问题是对称的：今天的哪一笔款项，等价于 $n$n 期之后可得的金额 $V_n$Vn​？就是那笔经过资本化后恰好还原出 $V_n$Vn​ 的款项。因此只需以除代乘。

$V_0 = \frac{V_n}{(1+i)^n}$V0​=(1+i)nVn​​

这一运算称为折现，$V_0$V0​ 称为该笔款项的现值，而数 $1/(1+i)^n$1/(1+i)n 称为折现因子——即用来乘以未来款项的那个数。只要 $i$i 为正，这个因子就小于 1，并随到期日的推远而呈几何式递减。

因此资本化与折现是同一个关系的两种读法。其中一方的任何性质，在另一方都有其对应：只要利率为正，利率越高，折现因子就递减得越快，而一笔非常遥远的款项，其现值可以小到任意程度。

折现率是一种机会成本

用于折现的利率 $i$i 并不是被折现款项的属性。它是可比的最优替代用途的收益率——若资本没有被占用在所考察的这项操作中，它本会被投向那里。

由此推出三个常被误解的结论。

• 利率取决于是谁在计算。 拥有不同选项的两个人，把同一笔款项按不同的利率折现是合理的，并得到不同的现值。这并非自相矛盾：他们所放弃的东西并不相同。
• 不存在可以从这笔款项本身读出的「真实」利率。 利率是一项有理据的选择，其理据就是被取作参照的那个替代方案。改变替代方案就改变结果。
• 现值对这一选择极其敏感，期限越长越是如此，因为其中的因子 $1+i$1+i 被抬到了 $n$n 次幂。因此一次诚实的比较会考察：当利率变动时，结论如何移动。

比较一连串款项：净现值

多数决定所涉及的不是单独一笔金额，而是一连串在时间上错开的款项：先是一笔支出，随后是若干笔收入。每一笔都被折算到参照日期，而这些现值——此时已经同质——可以相加。把支出计为负数，这些现值之和就是净现值（NPV）。

$\mathrm{NPV} = \sum_{t=0}^{n} \frac{F_t}{(1+i)^t}$NPV=t=0∑n​(1+i)tFt​​

其中 $F_t$Ft​ 是第 $t$t 期的净流量，若为支出则计为负数。日期 0 的流量不作折现，其因子等于 1。

设今天支出 1 000 €，换取在第 1、2、3 期各收入 400 €。按 5 % 的利率：

$\mathrm{NPV} = -1000 + \frac{400}{1{,}05} + \frac{400}{1{,}05^2} + \frac{400}{1{,}05^3} = -1000 + 380{,}95 + 362{,}81 + 345{,}54 = 89{,}30$NPV=−1000+1,05400​+1,052400​+1,053400​=−1000+380,95+362,81+345,54=89,30

净现值为正：以今天的欧元计，这项操作比按 5 % 的参照投放多带来 89,30 €。

同样的计算按 15 % 则给出 $-1000 + 347{,}826 + 302{,}457 + 263{,}006 \approx -86{,}71$−1000+347,826+302,457+263,006≈−86,71。净现值为负，同样的这些款项变得不划算。除了用来与之比较的替代方案之外，什么都没有改变：净现值衡量的不是某种内在的优劣，而是相对于一个参照的差额。

真正作出裁决的，正是这一差额，而不是一个未经折算的总账。事实上可以注意到，未经折现的收入合计 1 200 €，在两种情形下都超过 1 000 € 的支出：这样的比较什么也定不下来，因为它把日期不同的金额加在了一起。

判读的规则正是由这种以差额为准的看法而来：$\mathrm{NPV} > 0$NPV>0，该操作优于作为参照的替代方案；$\mathrm{NPV} = 0$NPV=0，两者等值；$\mathrm{NPV} < 0$NPV<0，替代方案更优。

内部收益率

既然净现值取决于利率，就可以把问题反过来，去寻找使它为零的那个利率。这个利率就是内部收益率（IRR）：使该操作与作为参照的替代方案恰好等价的那个 $i$i 值。

在前面的例子中，内部收益率约为 9,70 %，这一数值由数值求解得到：该方程是 $n$n 次多项式方程，4 次以上没有一般的根式解法，而且远在此之前手工求解就已不可行。相反，当只有一笔未来款项与一个初始金额相对时，内部收益率可以直接算出：$i = (V_n/V_0)^{1/n} - 1$i=(Vn​/V0​)1/n−1。它的判读是直接的：相对于任何收益低于 9,70 % 的替代方案，该操作更可取；相对于任何收益更高的替代方案，则不划算。这正是在 5 % 与 15 % 两次计算之间所看到的那个转折点。

有两条局限需要知道。使净现值为零，等价于求解 $\sum_t F_t\,x^t = 0$∑t​Ft​xt=0，其中 $x = 1/(1+i)$x=1/(1+i)；只有 $x > 0$x>0 的根——即 $i > -1$i>−1 ——才有意义，内部收益率则由 $i = 1/x - 1$i=1/x−1 得出。只要这些款项只变号一次——先一笔支出，随后是若干收入——这样的根就存在且唯一，而若收入合计少于支出，内部收益率还可以为负。当它们变号多次时，方程可能有多个可取的根，也可能一个也没有，内部收益率于是不再有唯一确定的定义。此外，作为一个利率，它对操作的规模只字未提：一小笔款项上很高的内部收益率，所创造的价值可能少于一大笔款项上平平的内部收益率。要为互相竞争的若干项操作排序，以金额表示的净现值仍是相关的那个量。

款项不确定的情形

前面的公式假定各笔款项在金额与日期上都是已知的。一旦未来的金额不确定，就有两种性质不同的调整可用：按概率对各笔款项加权，以及在被认为安全的用途的收益率之上，为折现率加上一笔风险溢价。这两种调整都被普遍采用——有争议的是它们的理据，而不是它们的存在。

它们并非同一性质。第一种不过是求一个期望：只要概率有定义，它就是良好定义的。但仅凭期望作决定，已经预设了对风险无所谓——这恰恰是第二种调整所否定的假设，然而它本身并不能由这条原理推出：原理说的是必须把各笔款项折算到同一个日期，它并没有说利率该上调多少。适当的溢价有多大，甚至由单独一个利率同时承担时间的流逝与风险的暴露这样两件如此不同的事情是否正当，都仍有争议。因此，对不确定款项的折现应被看作一种约定俗成的做法，其结果与对确定款项的计算并不具有相同的地位。

这条原理所预设的

• 同一个单位。 各笔款项必须以同一种货币表示，并在通货膨胀方面得到同质的处理：以当期单位计的款项按名义利率折现，即未经通货膨胀修正的那个利率；以不变购买力表示的款项则按实际利率折现，即由 $(1+i)/(1+\pi) - 1$(1+i)/(1+π)−1 得到的那个利率——此处 $i$i 指名义利率，$\pi$π 指该期的通货膨胀率——而不是由简单的相减得到。把两者混用是折现计算中最常见的错误。（名义一词在此与实际相对；正如前一条原理所指出的，它在别处与实效相对，那时还预设了一个给定的资本化频率。）
• 与每个到期日相适应的利率。 没有什么要求利率在整个期限内是唯一的。若它逐期不同，因子就变成一串相继因子之积，而幂的写法只是利率恒定时的特例。
• 明确的日期。 折现要求知道每一笔款项的日期，而不只是它的金额：$n$n 与 $i$i 一样，都是计算的一个参数。
• 一个确实可得的替代方案。 净现值所比较的那种用途，被假定在相同的金额与相同的日期上都是可以取用的。如果这一替代方案有额度上限或根本无法取用，所采用的利率就不再衡量人们实际放弃的东西。

最后有一点说明。若 $i$i 介于 $-1$−1 与 0 之间，折现因子大于 1，一笔未来的款项就比今天同样的款项更有价值。因此这条原理并不断言金钱会随时间贬值——它断言的是：一个没有日期的金额是不完整的，而差距的方向由利率的符号决定。

小结

一个金额只有伴随它的日期才有意义：要比较在时间上错开的各笔款项，就必须按最优替代用途的收益率把它们除以 $(1+i)^n$(1+i)n，从而折算到同一个日期。