1. 目标与前置知识

前置：会求函数值，并能从图像读取两个点。目标是计算变化率，把它解释为割线斜率，保留单位，并比较不同区间。

2. 定义：输出变化除以输入变化

对两个不同输入a和b，f从a到b的变化率是(f(b)-f(a))/(b-a)。分子Δy=f(b)-f(a)表示输出变化，分母Δx=b-a表示输入变化。为了避免除以0，必须有b≠a。

3. 几何意义：割线斜率

A=(a,f(a))和B=(b,f(b))都在函数图像上。经过A、B的直线叫割线，其斜率正好是Δy/Δx。变化率为正时割线向上，为负时向下，为0时水平。

4. 单位与表示

变化率的单位是输出单位除以输入单位，例如km/h、°C/h、€/件等。可以从公式或表格计算，也可从图像读取两个点来估计。图像读数可能经过取整，因此通常不如精确数值计算准确。

5. 例题

对f(x)=x²，从1到3有f(1)=1、f(3)=9。因此Δy=8、Δx=2，变化率为8/2=4。连接(1,1)与(3,9)的割线斜率也是4。

6. 练习

6.1. 用平方函数计算

对f(x)=x²，计算x=1到x=4的变化率。写出f(1)、f(4)、Δx、Δy，再计算Δy/Δx。

引导解答。 f(1)=1，f(4)=16，Δy=15，Δx=3，所以变化率为5。

6.2. 比较温度变化

8时温度为12 °C，11时为18 °C，15时为20 °C。计算8–11时和11–15时的平均变化率，单位为°C/h。比较两个区间，并解释为什么这些平均值不能证明温度始终以恒定速率变化。

成功标准。 两个商都使用正确的时间间隔，单位明确，并区分区间平均与瞬时变化。

6.3. 不照抄公式比较两个区间

对g(x)=x²+1，计算[-1,2]和[2,3]上的变化率并比较。利用两条割线解释这种差异说明g如何变化。

成功标准。 从g的函数值重建两个商，正确比较平均斜率，并且不把它们称为导数。

7. 深入理解：区间会改变解释

7.1. 同一个函数可以有不同变化率

变化率取决于选定的两个端点。对f(x)=x²，[0,1]上的变化率是1，[1,2]上是3；在[-1,1]上则是0，但函数在区间内部并不是常数。平均变化率只概括两个端点之间的总体变化，并不描述中间每一时刻。

比较多个区间可以看出变化是在加快、减慢还是改变方向，而不必提前使用导数。

7.2. 绝对变化率、百分比与单位

Δy/Δx并不自动等于百分比。4天增加20欧元对应5欧元/天；百分比则把变化量与一个参考值比较，回答的是另一类问题。

单位属于答案本身。5 km/h、5 °C/h和5 €/件含义完全不同。改变输入单位也会改变数值，例如60 km/h等于1 km/min。

7.3. 公式、表格和图像的精度不同

使用精确数值的公式可以给出精确商。表格受测量精度影响，而图像通常需要估读坐标，因此由图像求得的斜率应当视为估计值。

比较变化率时必须保持区间和符号约定一致。若同时交换两个端点，Δx和Δy会一起变号，因此商保持不变。

7.4. 常见错误与混淆

常见错误包括：忘记除以输入变化；允许b-a=0；遗漏单位；混淆平均变化率、总变化量与百分比；明明给出两个点却使用切线斜率；或把平均变化率为0误解为区间内部没有任何变化。

变化率回答的是：在给定两个端点之间，每单位输入对应的输出平均变化多少。导数随后研究把区间缩小到一点时的局部问题。

8. 总结

变化率是变化量之比Δy/Δx。它描述两个不同输入之间的平均变化，等于相应割线的斜率，并带有可解释的单位。

9. 课程标准来源

• 法国教育部 — 2026年 première générale 数学专业课程，附录p.360“Dérivation”： 官方公报。
• California Department of Education — F-IF.6，计算并解释平均变化率： California Content Standards。

10. 修订说明

课程于2026年9月25日根据两个不同国家的官方资料编写。数值例子已重新计算；正文与翻译由AI协助完成。不声称已测得学习增益。