概率是事件上取值于 0 与 1 之间的测度；三条公理足以推出其余一切。

概率

定义

概率是赋予某个事件的一个数，取值于 0 与 1 之间，衡量它在全部可能结果中所占的份额。

这些结果构成的集合称为样本空间，记作 $\Omega$ 。事件是它的一个子集：「骰子掷出偶数」就是子集 $\{2, 4, 6\}$ 。

全部概率计算都建立在三个命题之上，别无其他：

公理	命题	所要求的
非负性	$P(A) \geq 0$	概率永不为负
总质量	$P(\Omega) = 1$	必定发生某件事
可加性	若 $A \cap B = \emptyset$ 则 $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$	互不相容的事件可以相加

第三条可推广到可数并，这已足以处理无限的样本空间。

这三条规则并非任意的起点：常用的恒等式都由它们生成。

$P(\bar{A}) = 1 - P(A) \qquad P(\emptyset) = 0 \qquad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

最后一式纠正重复计数：把 $P(A)$ 与 $P(B)$ 相加，会把同属两者的部分算两次，故须减去一次。单凭可加性只适用于互不相交的事件。

得知 $B$ 已发生，会改变 $A$ 所占的份额。于是把样本空间限制到 $B$ 上：

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0$

当这种限制不改变任何东西时，两个事件称为独立： $P(A \mid B) = P(A)$ ，等价于 $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$ 。

独立性是一条数值性质，而非直觉。两个事件可以毫无因果联系却彼此相依，反过来的情形也会出现。

这套形式体系只规定计算规则，对其含义保持沉默。两种解读并存：频率派认为概率是重复试验中频率的极限；贝叶斯派认为它衡量一种可修正的信念程度。

两者遵循同样的三条公理，得出同样的数字。分歧在于诠释，不在计算。

三条公理支撑起全部概率计算，而没有一条说明概率意味着什么。