谓词

定义 事实

命题是非真即假的语句：「7 是素数」为真，「8 是素数」为假。

谓词没有这一性质。「$x$x 是素数」既不真也不假，它取决于 $x$x。它是一句带空位的语句，空位一旦填上便返回一个真值。

自由变元与约束变元 事实

只要变元仍然自由，语句就没有真值。有两种操作能把它封闭：

被量化的变元称为约束变元。不含自由变元的语句就是命题——它有且只有一个真值。

量词的次序 事实

两个不同类型的量词不可交换。在整数上，取 $S(x, y)$S(x,y) 表示「$y$y 大于 $x$x」：

$\forall x\, \exists y,\ S(x, y) \quad \text{为真}$∀x∃y, S(x,y)为真

$\exists y\, \forall x,\ S(x, y) \quad \text{为假}$∃y∀x, S(x,y)为假

前者说：对每个整数都存在更大的整数——而 $y$y 可以依赖于 $x$x。后者说：存在一个大于所有整数的整数——即最大的整数，而它并不存在。

同样的符号，次序一颠倒，一个为真，一个为假。使极限定义不可交换的，正是同一机制。

否定量化语句 事实

否定穿过量词时会把它们互换：

$\neg\,\forall x,\ P(x) \iff \exists x,\ \neg P(x)$¬∀x, P(x)⟺∃x, ¬P(x)

$\neg\,\exists x,\ P(x) \iff \forall x,\ \neg P(x)$¬∃x, P(x)⟺∀x, ¬P(x)

否定「全都是素数」得到的不是「没有一个是素数」，而是「存在一个不是素数」。一个反例即可推翻全称命题；要推翻存在命题，则须遍历整个论域。

论域是语句的一部分 事实

谓词只能在声明了的论域上判定。「$\exists x,\ x^2 = 2$∃x, x2=2」在 $\mathbb{Q}$Q 上为假，在 $\mathbb{R}$R 上为真：公式没有改变，改变的是全集。

省略论域，就是让语句悬而未决——不是意义含糊，而是根本没有真值。

小结

当谓词的变元在声明了的论域上被固定或量化时，它便成为命题。