实数

定义

实数是连续直线上的一个点。整数、分数、根式与 $\pi$π 都在其中占据位置，没有哪一个位置是空着的。

界定集合 $\mathbb{R}$R 的正是这种没有空隙，而不是它所包含的那份数字清单。

每一次扩张带来什么

每一层都弥补下一层的欠缺。最后一层性质不同：失效的不再是某种运算，而是一个无处落脚的数列。

有理数的空隙

没有哪个分数的平方等于 2。设既约分数 $p/q$p/q 满足 $(p/q)^2 = 2$(p/q)2=2：则 $p^2 = 2q^2$p2=2q2，故 $p$p 为偶数，故 $p = 2m$p=2m，故 $4m^2 = 2q^2$4m2=2q2，故 $q$q 亦为偶数。两者皆偶，与既约的假设相矛盾。

然而 $\sqrt{2}$2​ 确实存在：它是边长为 1 的正方形的对角线。可见有理数恰恰在一个完全可作图的位置上留下了空隙。

完备性

区分 $\mathbb{R}$R 的性质可用一句话概括：任何非空且有上界的子集都有上确界。

取平方小于 2 的有理数所成的集合。它非空，且有上界——但在 $\mathbb{Q}$Q 之内它没有最小上界：总能找到更紧的一个。在 $\mathbb{R}$R 中这个最小上界存在，它就是 $\sqrt{2}$2​。

这一性质刻画了 $\mathbb{R}$R：在同构意义下，它是唯一的完备全序域。

更大的无穷

有理数可以编号：能够排成一份以整数为下标的清单。实数则不能——没有任何清单能穷尽它们。

因此实数的无穷严格大于有理数的无穷，尽管后者在前者之中处处稠密：任意两个不同的实数之间，无论多么接近，总有一个有理数挤进去。

小结

实数是完备化了的有理数：取极限总能落到某处。